Книга 1 Киев „Корнійчук 2009 Кононюк Анатолий Ефимович


Выбор критериев оптимальности при формировании рекомендаций



страница28/33
Дата18.05.2019
Размер5.66 Mb.
ТипКнига
1   ...   25   26   27   28   29   30   31   32   33

2.7. Выбор критериев оптимальности при формировании рекомендаций

На разных консультационных этапах консультирования проблемы перед консультантами встает задача выбора наилучшего варианта из множества допустимых сформированных рекомендаций, удовлетворяющих предъявляемым требованиям.

Само по себе формирование рекомендаций есть компромисс. Формируя рекомендации, необходимо взвешивать суждения о ценности, что включает рассмотрение многих факторов, в том чис­ле экономических, технических, научных, социальных и чи­сто человеческих.

Сформировать «правильную» рекомендацию — значит выбрать такую альтернативу из числа возможных, в кото­рой с учетом всех разнообразных факторов будет оптими­зирована общая ценность. Задача «оптимального консультирования» заключается в определении вектора Х=1 ..., хт) оптимальных параметров формируемых рекомендаций по решению задач консультируемой проблемы исходя из технических и технико-экономических критериев оптимальности и поставленных ограничений. Пе­ременные консультирования X являются внутренними пере­менными, допускающими варьирование. Использование рационального комплекса критериев представляет собой ос­новной метод творческой деятельности при оптимальном консультировании. От того, как составлен комп­лекс критериев, зависит успех консультации. Процесс формирования рекомендаций при оптимальном консультировании характери­зуют следующие основные черты: наличие цели (критериев оптимальности) и альтернативных вариантов формируемых рекомендаций и учет существенных факторов при консультировании.

Понятие «оптимальная рекомендация» при консультировании имеет вполне определенное толкование «лучшая» в том или ином смысле рекомендация, допускаемая обстоятельст­вами. В подавляющем большинстве случаев одна и та же консультационная задача может быть решена несколькими способами, приводящими не только к различным выходным характеристикам, схемам и рекомендациям, но даже и к фи­зическим принципам, положенным в основу консультируемой проблемы. При этом одна из рекомендаций может превосходить дру­гую по одним свойствам и уступать ей по другим. В этих условиях часто чрезвычайно трудно сказать не только ка­кая из рекомендаций оптимальна, но даже какая из них предпочти­тельнее.

Если при консультировании проблем можно выделить один параметр, которому отдается безусловное предпочтение и который наиболее полно харак­теризует свойства консультируемой проблемы, то естественно этот параметр принять за целевую функцию. Такой выбор целевой функции лежит в основе критериев оптимальности, называемых частными критериями. При оптимизации по ча­стным критериям задача консультирования сводится к задаче оптимизации выбранной целевой функции при условии со­блюдения определенных ограничений. При этом одна часть параметров подпадает под категорию ограничений, а другая часть параметров, на которые не накладываются ограниче­ния, принимается такой, какой получилась при оптимизации целевой функции.

Для решения однокритериальных консультационных задач создан и уже успешно применяется развитый математический ап­парат, в том числе аппарат исследования операций.

Альтернативы, перед которыми оказываются консультанты сложных проблем, в большинстве случаев не могут быть отнесены к однокритериальным задачам. Любая проблема, особенно проблема сложная, характе­ризуется многими параметрами, определяющими ее качест­во и ценность. Среди этих параметров есть такие, значения которых желательно всемерно увеличивать, есть и такие, которые желательно минимизировать.

Существующие взаимосвязи между параметрами любой консультируемой проблемы и ограничения, накладываемые на параметры, не позволяют консультантам проблемы увеличить, насколько это желательно, все те характеристики, возраста­ние которых повышает качество решения проблемы, и уменьшить до предела все те параметры, минимизация которых усугубляет проблему.

Таким образом, ограничения и связи между отдельными параметрами консультируемой проблемы приводят к необходимо­сти идти на компромисс и выбирать для каждой характери­стики не максимально возможное в принципе значение, а меньшее, но такое, при котором и другие важные характе­ристики тоже будут иметь приемлемые значения. Поэтому при выборе варианта формируемых рекомендаций нельзя ограни­чиваться сравнением их по одной какой-либо характеристике, а необходимо принимать во внимание всю их совокупность. Задачи консультирования, проводимые по нескольким крите­риям оптимизации, носят название многокритериальных, или задач векторной оптимизации.

Все известные методы векторной оптимизации непосред­ственно или косвенно сводят консультационные задачи к задачам скалярной оптимизации. Иначе говоря, частные критерии Fi (Х), i = l, 2,…, п, тем или иным способом объединяются в со­ставной критерий

F (Х) =Ф(F1(X), ..., Fn(X)), который за­тем максимизируется (или минимизируется). Если состав­ной критерий получается в результате проникновения в фи­зическую сущность функционирования проблемы и вскрытия объек­тивно существующей взаимозависимости между частными критериями и составным критерием, то оптимальная рекомендация является объективной. Однако отыскание подобной взаимозависимости чрезвычайно сложно, а может быть, и не всегда возможно. Поэтому на практике составной крите­рий обычно образуют путем формального объединения част­ных критериев, что неизбежно ведет к субъективности по­лучаемой «оптимальной» рекомендации. Составной критерий иногда называют обобщенным или интегральным кри­терием.

В зависимости от того, каким образом частные критерии объединяются в обобщенный критерий, различают крите­рии аддитивные, мультипликативные и минимаксные (максиминные).

Если оптимизация ведется без учета статистического разброса характеристик, то соответствующий критерий оп­тимальности называют детерминированным критерием, ес­ли разброс параметров учитывается, то имеем критерий статистический. Статистические критерии оптимальности более полно отражают представление о качестве формируемых рекомендаций, однако их использование, как правило, при автоматизированном консультировании ведет к значительному увеличению затрат машинного времени.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике способы выбора критериев оптимальности.



Частные критерии. При формировании рекомендаций с использованием частных кри­териев в качестве целевой функции F(X) принимается наиболее важный выходной параметр консультируемой проблемы, все остальные параметры в виде соответствующих ус­ловий функционированности относятся к ограничениям. В этом случае задача оптимального консультирования является однокритериальной задачей математического программирова­ния: максимизировать (или минимизировать) значение це­левой функции

F(X)→max (min)

при наличии системы ограничений на параметры консультируемой проблемы.

Из постановки задачи математического программирова­ния вытекает, что параметры, для которых выполняются ограничения в виде строгих неравенств, имеют определен­ный запас по сравнению с заданными консультационными требо­ваниями. Ряд параметров, для которых условия функционированности имеют вид равенств, запасов вообще не имеет, и любые изменения консультационных требований для этих пара­метров приводят как к изменению характеристик и структуры консультируемой проблемы, так и к изменению значения целевой функции.

Частные критерии довольно широко используют при формировании рекомендаци для решения проблем из различных областей.



Пример 1. Ставится консультационная задача: сформировать рекомендации, которые необходимо использовать при проектирование технологического оборудования - пе­реносного автомата для забивания стальных дюбелей в бетонные стены. Пе­реносной автомат для забивания стальных дюбелей в бетонные стены состоит из корпуса с магазином, содержащим запас дюбелей, подающе-спускового механизма с зарядами и ствола (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Технологический автомат


Требуется определить основной конструктивный параметр автомата — длину ствола L — при следующих исходных данных: число дюбелей, помещающих­ся в магазине, N≥12, масса одного дюбеля с расходуемым на него за­рядом т = 50 г, масса ствола 1,6 кг/м, масса корпуса 2 кг, критерий оп­тимальности — минимальная масса заряженного автомата.

При фиксированной величине заряда и заданной массе дюбеля скорость V выбрасывания дюбеля связана с длиной ствола L соотношением V=kL, где k = 150 м0,5/с. Минимально допустимая скорость дюбеля определяется экспериментально: Vmin=100 м/с. Масса авто­мата при минимально допустимом числе дюбелей в магазине опреде­ляется как F(L)= 1,6L + 0,05N + 2=l,6L+2,6.

Задача проектирования автомата сводится к минимизации целе­вой функции

F(L) = 1,6L +2,6

при ограничении



150L100.

Решение задачи оптимизации имеет вид: L = 0,445 м, F(L) = 3,31 кг.

График области компромисса для массы автомата 6 кг показан на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Область решения задачи оптимизации технологического автомата


Здесь точки А соответствует оптимальному решению данной задачи по критерию минимума массы автомата.

Аддитивные критерии. В аддитивных критериях целевая функция образуется путем сложения нормированных значе­ний частных критериев. Частные критерии имеют различную физическую природу и в соответствии с этим — различную размерность. Поэтому при образовании обобщенного крите­рия следует оперировать не с «натуральными» критериями, а с их нормированными значениями. Нормированные кри­терии представляют собой отношение «натурального» част­ного критерия к некоторой нормирующей величине, измеряе­мой в тех же единицах, что и сам критерий. При этом выбор нормирующего делителя должен быть логически обоснован. Возможны несколько подходов к выбору нормирующего де­лителя.

Первый подход предлагает принимать в качестве нор­мирующего делителя директивные значения параметров, за­данные клиентом. Логически слабым моментом такого подхода является негласное предположение того, что в КЗ на консультируемую проблему заданы оптимальные значения па­раметров рекомендаций и что совокупность заданных значений критериев рассматривается как образцовая.

Второй подход предполагает выбор в качестве нормиру­ющих делителей максимальных значений критериев, дости­гаемых в области реализуемости сформированных рекомендаций (в об­ласти компромисса). Возможен подход, при котором в ка­честве нормирующих делителей выбирают разность между максимальным и минимальным значениями критерия в об­ласти компромисса.

Выбор подхода к формированию безразмерной формы частных критериев в значительной степени носит субъектив­ный характер и должен обосновываться в каждом конкрет­ном случае.

Пусть при консультировании некоторой проблемы сущест­вует п частных критериев. Тогда целевая функция задачи оптимизации при применении аддитивного критерия имеет вид

(2.10)
Здесь сi — весовой коэффициент i-го частного критерия; Fi(0) (X)—i-й нормирующий делитель; fi(Х)—нормирован­ное значение i-гo частного критерия.

Функция (2.10) позволяет осуществлять компромисс, при котором улучшение значения одного нормированного част­ного критерия компенсирует ухудшение значений других.

Введение весовых коэффициентов должно учитывать различную значимость частных критериев при формирова­нии аддитивного критерия. Определение весовых коэффи­циентов сталкивается с серьезными трудностями и обычно сводится либо к использованию формальных процедур, либо к применению экспертных оценок.

С появлением обобщенного критерия исчезают логичес­кие проблемы, связанные с установлением взаимосвязей между частными критериями различной размерности и вы­бором наилучшего варианта формируемой рекомендации, и ос­таются лишь вычислительные трудности. Но аддитивный критерий имеет ряд недостатков, главный из которых состо­ит в том, что он не вытекает из объективной роли частных критериев в функционировании проблемы и вы­ступает поэтому как формальный математический прием, придающий задаче удобный для решения вид. Другой не­достаток заключается в том, что в аддитивном критерии может происходить взаимная компенсация частных критериев. Это значит, что значительное уменьшение одного из критериев вплоть до нулевого значения может быть покрыто возрастанием другого критерия. Для ослабления этого не­достатка следует вводить ограничения на минимальные значения частных критериев и их весовых коэффициентов. Несмотря на слабые стороны обобщенный аддитивный кри­терий позволяет в ряде случаев успешно решать многокри­териальные задачи и получать полезные результаты.



Пример 2. По исходным данным примера 1 сформировать рекомендации по определению конст­руктивных параметров L и N переносного автомата при условии, что масса заряженного автомата не должна превышать 6 кг, а частными критериями эффективности автомата являются скорость выбрасывания дюбеля V и число дюбелей N, помещающихся в магазине. Выбор этих критериев объясняется тем, что чем выше V, тем надежнее дюбеля про­никают в бетон любой марки, а чем больше N, тем удобнее работать с автоматом. По мнению экспертов-консультантов оба критерия V и N в нормированном виде имеют одинаковую важность.

Найдем оптимальные рекомендации с помощью аддитивного критерия. Для нормирования найдем Nmax и Vmax. Величину Nmax определяют из условия Vmin =100 м/с. Уравнение баланса масс имеет вид

1,6L + 0,05N + 2 = 6.

Из этого уравнении следует, что Nmax = 65. Для отыскания Vmax будем считать, что в автомате находится только один дюбель. Тогда Vmax = 150 √Lmах=236 м/с. Нормированные частные критерии будут иметь вид



f1(V) = V /236; f2(N)=N/65.

Аддитивный критерий эффективности автомата



F (V, N) = f1 (V) + f2 (N) = V /236 + N /65.

Для определения максимального значения аддитивного критерия



F(V, N) с учетом ограничения на массу автомата воспользуемся методом неопределенных множителей Лаграижа. В результате решения за­дачи оптимизации получаем V(a)орt =100 м/с, L(a)орt = 0,445 м, N(a)орt =65. На рис. 2.12 данному решению соответствует точка В.

Мультипликативные критерии. Аддитивные критерии ос­нованы на использовании принципа справедливой компен­сации абсолютных значений нормированных частных крите­риев. Но в ряде консультационных задачах более целесообраз­ным является оперирование не с абсолютными, а с относительными изменениями значений частных критериев.

Принцип справедливой относительной компенсации фор­мулируется следующим образом: справедливым следует считать такой компромисс, когда суммарный уровень отно­сительного снижения значений одного или нескольких кри­териев не превышает суммарного уровня относительного увеличения значений других критериев.

В математической форме условие оптимальности на основе принципа справедливой относительной компенсации имеет вид

(2.11)

где Fi(X)—приращение величины i-го критерия; Fi(X)—первоначальная величина i -го критерия.

Полагая Fi(X) Fi(X), можно представить (2.11) как дифферен­циал натурального логарифма, тогда

(2.12)

Из выражения (2.12) следует, что принцип справедливой относительной компенсации приводит к мультипликативному обобщенному критерию оптимальности



Мультипликативный критерий образуется путем простого перемножения частных критериев в том случае, если все они имеют одинаковую важность. В случае неравноценности частных критериев вводятся ве­совые коэффициенты ci и мультипликативный критерий принимает вид



(2.13)

Достоинством мультипликативного критерия является то, что при его использовании не требуется нормировка частных критериев. Недостатки критерия: критерий компенсирует недостаточную величину одного частного критерия избыточной величиной другого и имеет тен­денцию сглаживать уровни частных критериев за счет неравнозначных первоначальных значений частных критериев.



Пример 3. По исходным данным примера 2 определить рекомендуемые конст­руктивные параметры технологического автомата по мультипликатив­ному критерию вида

F(V, N) = VN.

Для отыскания максимума функции F(V, N) составляем функцию Лагранжа

Ф(V, N, λ) = VN+ λ (4— 1,6L — 0,05N),

где λ — множитель Лагранжа.

Выражая длину ствола L через скорость V и решая задачу оптимизации, получаем V(a)орt =137 м/с, L(a)орt = 0,833 м, N(a)орt =53, что соот­ветствует точке С на рис. 2.12.

Использование мультипликативного критерия в задаче оптимиза­ции привело к другим значениям параметров технологического авто­мата по сравнению с решением задачи с аддитивным критерием оптимальности. Это объясняется тем, что диапазоны взаимной компенсации абсо­лютных и относительных изменений частных критериев V и N неодинако­вы. Поэтому в каждом конкретном случае консультационного процесса следует тщательно анализировать и обосновывать целесообразность учета либо абсолютных, либо относительных изменений значений част­ных критериев и в зависимости от степени важности этих отклонений рекомендовать вибрать либо аддитивный, либо мультипликативный критерий оптимальности



Минимаксные критерии. В теории векторной оптимиза­ции особое место занимает принцип компромисса, основан­ный на идее равномерности. На базе этого принципа рабо­тают минимаксные (максиминные) критерии.

Сущность принципа максимина заключается в следую­щем. При консультировании сложных проблем при наличии большого числа частных критериев довольно трудно, а зачастую и невозможно установить аналитическую взаимосвязь между критериями. Поэтому, основываясь на идее равномерного компромисса, стараются найти такие значения консультационных переменных Х=( х1, ..., хт), при которых нормированные значения всех частных критериев становятся равными между собой, т. е.



fi (X) = К, i = 1, 2, …п. (2.14)

С учетом весовых коэффициентов важности частных критериев выражения (2.14) трансформируются в соотноше­ния вида



сi fi (X) = К, i = 1, 2, …п. (2.15)

При большом числе частных критериев из-за сложных взаимосвязей иногда чрезвычайно трудно добиться выпол­нения соотношений (2.14) и (2.15). В этом случае оказывается полезным применение принципа максимина, заключающе­гося в такой вариации значений консультационных переменных X, при которой последовательно «подтягиваются» те нор­мированные критерии, численные значения которых в ис­ходной рекомендации оказались наименьшими. Вследствие того что операции производятся в области компромисса, подтя­гивание «отстающего» критерия неизбежно приводит к снижению значений части остальных критериев. Но при про­ведении ряда шагов можно добиться определенной степени уравнивания противоречивых (конфликтных) частных кри­териев, что и является целью принципа максимина.

Формально принцип максимина формулируется следу­ющим образом: нужно рекомендовать выбрать такое Х(0) Х, на котором

реализуется максимум из минимальных значений частных критериев, т. е.

Такой принцип выбора Х(0) иногда носит название «прин­ципа гарантированного результата». Он заимствован из тео­рии игр, где, по существу, является основным принципом.

Если частные критерии fi (Х) следует минимизировать, то самым «отстающим» критерием является тот, который принимает максимальное значение. В этом случае принцип равномерной компенсации формулируется в виде минимакс­ной задачи:

(2.16)

Для обоснования геометрической интерпретации принципа минимакса приведем ряд определений из теории выпуклых множеств.

Пусть Q — некоторое множество, определенное в пространстве Еп. Множество Q называют выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком принадлежит этому множеству. Другими словами, Q — выпуклое множество, если для любых

х(i), x(j)Q и любого 0≤λ≤1 справедливо

Величину х называют средневзвешенной по элементам х(i) и x(j) с весами λ и (1— λ).

Пусть — конечное множество точек в пространстве Еп. Конечное множество точек (рис. 2.13, а) не является выпуклым, однако может быть заключено в выпуклую оболочку S(A) (рис. 2.13,б).

Рис. 2.13. Иллюстрация понятия выпуклой оболочки и области компромисса


Выпуклой оболочкой S(A) конечного точечного множества А называют пересечение всех выпуклых множеств Qi, подмножествами которых является А. В частности, если AQ1 и AQ2, то S(А) Q1Q2.

Из данного определения следует, что выпуклая оболочка S(A) является наименьшим выпуклым множеством, содержащим А. Выпуклой оболочкой конечного точечного множества А на плоскости является выпуклый многоугольник, вершинами которого являются крайние точ­ки множества А, а выпуклой оболочкой конечного множества А в про­странстве Еп — выпуклый многогранник. Точку х* называют крайней точкой конечного множества А, если ни для каких A(i), А(j)А она не может быть представлена в виде



Заметим, что в этом определении λ не может принимать значений 0 и 1. Это означает, что крайняя точка не может лежать внутри отрез­ка, соединяющего любые две точки множества А, а может быть лишь концевой точкой этого отрезка. Выпуклая оболочка конечного множества А есть множество средневзвешенных по элементам множества А.

Геометрическая интерпретация принципа минимакса за­ключается в следующем.

Пусть консультируется проектирование некоторго объекта по п частным критериям vi = fi(X), i=1, 2, …, п. Каждый вариант объекта может быть предстанлен в пространстве Еп в виде точки A(l) с координатами A(l)=(v1(l), ..., vn(l)), а множество рекомендуемых вариантов может быть отображено в конечное множество точек



А={A(1),...., A(k)}, заключенное в выпуклую оболочку S(А).

Таким образом, область формирования рекомендаций при проектировании ограничена выпуклой оболочкой S(A) в прост­ранстве Еп.

Пусть все частные критерии минимизируются. Тогда об­ластью компромисса является левая нижняя граница вы­пуклой оболочки S), а сформированная рекомендация должна находиться в области компромисса (рис. 2.13, в). В общем случае при не­равнозначных критериях vi = fi(X) сформированная рекомендация на основе принципа равномерной компенсации будет соответствовать такой точке А(0), лежащей в области компромисса, для ко­торой будут удовлетворяться соотношения

(2.17)

Заметим, что направление, определяемое вектором С=(с1 ..., сп), задается в первом ортанте в пространстве Еп. Произвольный вектор весовых коэффициентов С, удов­летворяющий соотношениям (2.17), будем интерпретировать как предпочтение частных критериев vi = fi(X) друг перед другом, выраженное в количественной шкале.

Остановимся на определении направления, порождаемого вектором С в пространстве Еп. Это направление задается углами βi, i=1, 2, …, п, между осями координат и радиусом-вектором С. Тогда

где еi= (0, ..., 0, 1, 0..... 0) — орт оси vi , v*=(v*1, ..., vп*) — точка, находящаяся на луче С.

Исходя из отношений для различных пар углов βi и β j (i, j = 1, 2, …, п), запишем систему линейно независимых уравнений, из которой могут быть найдены неизвестные направляющие косинусы:

(2.18)

С другой стороны, в силу соотношений (2.17) для точки v* справедливо



vi* / v*j= сj/сi, i, j = 1, 2, …, п, i j.

Учитывая эти соотношения, можно переписать (2.18) следующим образом:



(2.19)

Решая (2.19), получим выражение для направляющих косинусов вектора С:



(2.20)

Если все частные критерии равноценны, т. е. сi =1/M, i = 1, 2, …, п, то



При наличии двух частных критериев для равноценных критериев направляющие косинусы имеют вид



что соответствует биссектрисе координатного угла v10v2 (рис, 2.14, а),




Рис. 2.14. Геометрическая интерпретация принципа мииимакса
Если c1>c2, что указывает на то, что частный критерий v1 предпочтительней второго, то cos β1cos β2 в силу соотношения (2.20). Так как β12=π/2, то вектор, определяемый этим предпочтением, прохoдит вблизи от 0v2, т. е. около оптимума (минимума) первого критерия (рис. 2.14,б).



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   25   26   27   28   29   30   31   32   33


База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница