Краткие сведения из теории вероятностей и математической статистики общие понятия



страница1/11
Дата05.03.2019
Размер0.7 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ



3.1. Общие понятия

Данные о длительности безотказной работы одинаковых изделий, изготовленных из одной партии сырья и работающих в одинаковых условиях, имеют значительный разброс, а срок службы каждого конкретного изделия невозможно предсказать. В то же время относительно большой партии этих изделий можно сделать достаточно определенные выводы о среднем времени безотказной работы, среднем сроке службы, доле изделий, способных проработать безотказно то или иное время, причинах поломок и др. Таким образом, мы оказываемся в типичной обстановке, характерной для теории вероятностей и математической статистики.

Поведение машин и их элементов в эксплуатации зависит не только от условий работы, но и от технологии изготовления. Уже в процессе изготовления закладываются причины различий в свойствах одинаковых машин. Сюда относятся многочисленные отклонения (в пределах технических условий): неоднородная структура металла, различия в свойствах поверхностей трения, неодинаковые величины зазоров и натягов в сопряжениях, усилия затяжки крепежных соединений и т. д. В процессе эксплуатации дополнительное влияние на надежность машин оказывает режим эксплуатации, дорожные и грунтовые условия, квалификация водителя или оператора, разное качество технического обслуживания и ремонта и т. д. Все это приводит к тому, что изменение параметров каждой машины происходит индивидуально, а появление отказов и предельных состояний носит случайный характер. Поэтому оценить надежность машин и выявить закономерности изменения их параметров можно только статистическими методами [6-10].

Рассмотрим вначале основные понятия, которые используются в теории вероятностей и математической статистике.

Случайное явление — это такое явление, которое при неоднократ­ном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз не­сколько по-иному. Например, измерение размера одной и той же детали одним и тем же инструментом дает каждый раз различные результаты.

Событие — это всякий факт или явление, происходящее в результате опыта (испытания).

Случайным называют событие, которое при рассматриваемом со­четании условий может произойти, а может и не произойти. Случайными событиями будут появления отказов и предельных состояний.

Несовместимыми называют два события, если появление одного из них исключает возможность появления другого. Например, отказ и работоспособность — это два события, которые не могут возникать одновременно.

Совместимыми называют два события, если появление одного из них не исключает возможность появления другого. Например, наличие повреждения объекта не исключает появление отказа.

Равновозможными называют несколько возможных событий, появление которых в результате испытаний одинаково возможно.

Независимыми считают такие события, появление которых не зависит от того, какое событие произошло перед этим (например, появление независимого отказа).

Вероятность события — численная мера степени объективной возможности реализации случайного события. События, которые происходят чаще, называются более вероятными; менее вероятными называются события, которые происходят реже; маловероятным — события, которые практически почти никогда не происходят.

В качестве единицы измерения вероятности принимают вероятность достоверного события, т. е. такого события, которое в результате опыта (испытания) обязательно должно произойти (например, неработоспособное состояние объекта при появлении отказа).

Невозможное событие — это событие, которое в результате опыта (испытания) произойти не может (например, замерзание воды в системе охлаждения при температуре выше 00С). Вероятность невозможного события равна нулю.

Таким образом, вероятность события изменяется от 0 до 1 или в общем случае определяется по формуле:
, (3.1)
где P(a) — вероятность появления события а; N — общее число случаев;

n — число случаев, благоприятных событию (частота события а).

Однако на практике пользуются не вероятностью события, а относительной частотой, так как вероятность события не всегда возможно вычислить, потому что общее число случаев может быть большим или бесконечно большим. Относительной частотой события а в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие а, к общему числу произведенных опытов.

В теории вероятностей доказано, что при неограниченном увеличении числа однородных опытов с практической достоверностью можно утверждать, что относительная частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности.

Случайная величина — это величина, которая в результате опыта может принимать различные значения, причем заранее неизвестно какие (например, наработка на отказ, трудоемкость ремонта, продолжительность простоя в ремонте, время безотказной работы, число отказов к некоторому моменту времени и т. д.).

Ввиду того, что значение случайной величины заранее неизвестно, для ее оценки используется вероятность (вероятность того, что случайная величина окажется в интервале ее возможных значений) или частость (относительное число случаев появления случайной величины в указанном интервале).

3.2. Характеристики случайных величин

Среднее арифметическое значение — это частное от деления суммы полученных из опытов значений случайной величины на число слагаемых этой суммы, т. е. на число опытов.


, (3.2)
где Х — среднее арифметическое случайной величины; N — число прове­денных опытов; х1, х2, ..., хN — отдельные значения случайной величины.

Математическое ожидание — сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.


. (3.3)
Между средним арифметическим значением и математическим ожиданием случайной величины существует такая же связь, как между относительной частотой и вероятностью: при большом числе опытов среднее арифметическое значение случайной величины приближается к ее математическому ожиданию.

Мода случайной величины — наиболее вероятное ее значение, т. е. значение, которому соответствует наибольшая частота. Графически моде соответствует наибольшая ордината.

Медиана случайной величины — такое ее значение, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина больше или меньше медианы. Геометрически медиана определяет абсциссу точки, ордината которой делит площадь, ограниченную кривой распределения пополам.

Для симметричных модальных распределений среднее арифметическое, мода и медиана совпадают.

Размах рассеивания случайной величины — это разность между максимальным и минимальным ее значениями, полученными в результате испытаний.

. (3.4)
При малом числе наблюдений (N < 10) размах служит мерой рассеивания.

Дисперсия (второй центральный момент) является одной из основ­ных характеристик рассеивания случайной величины около ее среднего арифметического значения. Величина ее определяется по формуле:


. (3.5)
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому пользоваться ею не всегда удобно.

Среднее квадратичное отклонение также является мерой рассеивания и равно корню квадратному из дисперсии.


. (3.6)
Поскольку среднее квадратичное отклонение имеет размерность случайной величины, пользоваться им удобнее, чем дисперсией.

Среднее квадратичное отклонение называют также стандартом, основной ошибкой или основным отклонением. Среднее квадратичное отклонение, выраженное в долях среднего арифметического, носит название коэффициента вариации.


или (3.7)
Введение коэффициента вариации необходимо для сравнения рассеивания величин, имеющих разную размерность. Для этой цели среднее квадратичное отклонение непригодно, так как имеет размерность случайной величины.



Каталог: docs -> ymk -> tovar
ymk -> Тема Фирменный автосервис
ymk -> Эксплуатационные материалы
ymk -> Тесты для сдачи экзамена, список рекомендуемой учебно-методической литературы для студентов всех форм обучения специальности 080401 «Товароведение и экспертиза товаров»
ymk -> Органическая химия
ymk -> Тесты напишите номер правильного ответа: При использовании иммерсионной системы микроскопирования разрешающая способность: повышается понижается
ymk -> Учебно-методический комплекс по дисциплине «Информатика» для специальности 110305 «Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции»


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница