Краткие сведения из теории вероятностей и математической статистики общие понятия


ПЛАНИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПРИ МНОГОФАКТОРНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ



страница10/11
Дата05.03.2019
Размер0.7 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

7. ПЛАНИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПРИ МНОГОФАКТОРНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

В отличие от наиболее распространенного однофакторного метода исследования, когда изучается действие каждого фактора в отдельности, существуют методы, позволяющие при исследовании сложных процессов выполнять эксперименты так, чтобы варьировать все факторы сразу. Это способствует повышению эффективности эксперимента, выражающейся в том, что интересующие экспериментатора параметры определяются со значительно меньшей ошибкой, чем при традиционных методах исследования. При этом с повышением числа факторов повышается точность эксперимента.

В этом случае существенную роль играет планирование экспериментального исследования. Планирование эксперимента — это постановка опытов по некоторой заранее составленной схеме, обладающей какими-то оптимальными свойствами. Разработка таких схем при изучении сложных явлений представляет собой сложную математическую задачу.

При планировании эксперимента должны быть определены:

— необходимое число опытов;

— последовательность проведения эксперимента;

— математическая модель для описания эксперимента.

S, мм



l, тыс. км

Рис. 7.3. График изменения износа шины автомобиля "Москвич"
При составлении плана проведения экспериментального исследования для каждого фактора выбирается определенное число уровней варьирования. Поэтому необходимое число опытов определяется числом возможных комбинаций уровней варьирования независимых переменных, а также количеством повторных опытов. В большинстве случаев планирование экспериментов осуществляется по схеме полно-факторного эксперимента [2]. Она предусматривает одновременное варьирование всех исследуемых факторов на двух уровнях: верхнем, имеющем максимальное значение рассматриваемого фактора, и нижнем, соответствующем минимальному значению фактора. При этом необходимое число опытов определяется по формуле

где k — число рассматриваемых факторов.

Значения (уровни) факторов удобно задавать в относительных или кодированных величинах. Верхний уровень фактора равен +1 , нижний — 1, средний или основной 0. В общем случае кодированное значение фактора определяется по формуле



(7.1)

где — номер рассматриваемого фактора; xi+1 или — 1 кодированное значение факторов; — натуральное значение i-го фактора; — интервал варьирования i-го фактора в натуральном выражении; — натуральное значение основного уровня i-го фактора.

Для планируемого эксперимента важную роль играет последова­тельность выполнения опытов. В целях усреднения эффектов от некон­тролируемых переменных, сопутствующих любому экспериментальному исследованию, отдельные опыты следует проводить в случайной после­довательности. Случайная последовательность проведения эксперимента может быть определена с помощью таблиц случайных чисел [2].

План эксперимента удобно задавать таблицей, называемой матрицей планирования эксперимента, включающей в себя последовательность проведения опытов, значения факторов и эффектов их взаимодействий, а также значения исследуемой функции, называемой параметром оптимизации. Матрица планирования полнофакторного эксперимента типа 23 представлена в табл. 7.1. В таблице и в дальнейшем применяем сокращенное обозначение уровней факторов: вместо +1 и — 1 обозначаем + и .

Таблица 7.1

Матрица планирования 23





Порядок

реализации

опытов

Порядок варьирования факторов



Значения

параметра



оптимизации




I

II

III

х0

х1

х2

х3

х1х2

х1х3

х2х3

х1х23

у1

у2

у3

у

1










+





+

+





+













2










+

+



+



+

















3










+



+

+





+















4










+

+

+

+

+

+

+

+













5










+







+

+

+















6










+

+







+

+

+













7










+



+





+



+













8










+

+

+



+



















В табл. 7.1 среднее значение параметра оптимизации в каждой строке матрицы планирования рассчитываются по формуле
(7.2)
где n — число параллельных опытов в каждой строке матрицы планирования; yu — значение параметра оптимизации в u-ом параллельном опыте.

Обработка результатов экспериментов заключается в статистическом анализе и включает следующие этапы.

1. Проверка воспроизводимости результатов сводится к проверке гипотезы об однородности построчных дисперсий , найденных по результатам опытов.

Построчные дисперсии рассчитываются по формуле


(7.3)
где j — номер строки матрицы планирования.

Далее вычисляется экспериментальное значение критерия Кохрена, т. е. отношение максимальной из N дисперсий к сумме всех дисперсий:



(7.4)
Гипотеза об однородности дисперсий подтверждается, если вычисленное значение критерия не превышает критического значения, определенного по соответствующим таблицам [2].

2. Устанавливается вид анализируемой функции или математическая модель объекта исследования. При этом руководствуются физическими представлениями о самом объекте или результатами предыдущих исследований.

При отсутствии таких сведений функцию параметра оптимизации представляют результатом ее разложения в ряд Тейлора, т. е. используют модель в виде полинома. В простейшем случае для полно факторного эксперимента типа 23 выбирают полином первого порядка, линейный по всем переменным:
(7.5)
где х1, х2, х3 — кодированные значения факторов; b1, b2, b3 — коэффициенты, показывающие степень влияния каждого фактора на параметр оптимизации; b12, b13, b23, b123 — коэффициенты, показывающие степень влияния взаимодействия соответствующих факторов на параметр оптимизации.

Сводный член b0 вычисляется по формуле


. (7.6)
Коэффициенты уравнения (7.5), характеризующие линейные эффекты, рассчитываются по формуле
. (7.7)
Коэффициенты уравнения (7.5), характеризующие эффекты взаимодействия, определяются по формулам
; (7.8)
, (7.9)
где i, l, k — номера факторов.

3. Проверяется значимость коэффициентов полученной математической модели по -критерию Стьюдента. С этой целью рассчитывается дисперсия параметра оптимизации по формуле


(7.10)

Для плана полного факторного эксперимента типа 23 дисперсии оценок коэффициентов b0, bi, bil, bilk одинаковы и определяются по формуле



, (7.11)
где — дисперсия коэффициентов уравнения регрессии.

Экспериментальное значение критерия Стьюдента равно:


, (7.12)
где — абсолютное значение оценки проверяемого коэффициента.

Коэффициент считают значимым, если вычисленное значение критерия больше, чем критическое значение, выбираемое по таблицам распределения Стьюдента [2]. Статистически незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии.

4. Проверяется адекватность модели, т. е. пригодность полученной модели для описания реального объекта исследования, по отношению дисперсий адекватности и параметра оптимизации .

Дисперсия адекватности рассчитывается по формуле


, (7.13)
где — построчные значения параметра оптимизации, вычисленные по окончательному виду математической модели; — число членов уравнения регрессии, оставшихся после проверки значимости коэффициентов .

Экспериментальное значение -критерия (критерия Фишера) равно:


. (7.14)
Модель считают адекватной, если вычисленное значение меньше критического, определенного по таблицам -распределения [2].

При неадекватности модели возможны следующие действия: усложнение модели, достройка плана, преобразование переменных, изменение интервалов варьирования.



Пример 7.1. Исследовалось влияние на дымность двигателя ЯМЗ-238 следующих факторов:

— коэффициент избытка воздуха а;

— давление начала впрыска топлива , МПа;

— частота вращения коленчатого вала n, мин-1.

Уровни факторов выбирались таким образом, чтобы они охватывали предполагаемую область оптимальных значений факторов, что следует из табл. 7.2.

Таблица 7.2


Уровни

Обозначение

а

Ре, МПа

n, мин-1

факторов










Основной

0

1.2

15

1000

Интервал варьирования




0.2

2.5

200

Верхний

+1

1.4

17.5

1200

Нижний

— 1

1.0

12.5

800

Эксперименты и дальнейшая обработка их результатов проводилась в соответствии с методикой полного факторного эксперимента. В каждой точке факторного пространства опыты повторялись по 3 раза. Результаты измерений дымности в условных единицах по шкале дымомера типа Хартридж приведены в табл. 7.3.

По формуле (7.2) были подсчитаны средние значения показателя дымности в каждой строке матрицы планирования (столбец ). Затем по формуле (7.3) рассчитывались построчные дисперсии (столбец ). Критерий Кохрена в соответствии с формулой (7.4) оказался равным:
.
Из справочных таблиц [3] значение было принято равным 0,6152. Так как , то построчные дисперсии следует считать одно­родными, а воспроизводимость эксперимента — удовлетворительной.

Дисперсия параметра оптимизации в соответствии с формулой (7.10) равна:



.

По формулам (7.6), (7.7), (7.8), (7.9) были рассчитаны коэффициенты уравнения регрессии (7.5):


b0= 0,2178; b1= 0,084; b2= 0,0128; b3= 0,0083;
b12 = - 0,0025; b13 = 0,002; b23 = 0,0073; b123= -0,0235.
Уравнение регрессии приняло вид


. (7.15)
Дисперсия коэффициентов уравнения регрессии в соответствии с формулой (7.11) составила:


Среднеквадратическое отклонение .

Значения критерия Стьюдента, рассчитанные по выражению (7.12), равны:




Табличное значение tтабл = 2,12 при числе степеней свободы, равном 16 [2]. Сравнение tрас с tтабл показало, что статистически значимыми являются только коэффициенты b0 и b1. Поэтому окончательно уравнение (7.15) приняло вид
. (7.16)
По выражению (7.16) были рассчитаны значения показателя дымности (столбец табл. 7.3). Дисперсия адекватности, подсчитанная по формуле (7.13), оказалась равной:
.
Для проверки адекватности окончательно принятой математической модели (7.16) был произведен расчет критерия Фишера по формуле (7.14)

.
Табличное значение Fтабл = 2,7 [2]. Так как Fрас < Fтабл, то можно считать, что уравнение (7.16) адекватно описывает процесс изменения дымности. Из этого уравнения следует, что на дымность двигателя ЯМЗ-236 существенное влияние оказывает лишь коэффициент избытка воздуха а, характеризующий состав горючей смеси. Давление начала впрыска топлива и частота вращения коленчатого вала двигателя в исследуемых интервалах на показатель дымности заметного влияния не оказывают.

В уравнении (7.16) коэффициент избытка воздуха представлен в кодированном виде. Для приведения к натуральному виду в уравнение (7.16) надо подставить значение x1 из формулы преобразования (7.1).





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница