Краткие сведения из теории вероятностей и математической статистики общие понятия


Расчет параметров экспериментального распределения



страница4/11
Дата05.03.2019
Размер0.7 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

5.2. Расчет параметров экспериментального распределения

Если предположить, что закон распределения известен, то вычислительная схема определения его числовых характеристик состоит из нескольких этапов:

— представление статистических данных в виде вариационного (статистического) ряда или гистограммы;

— определение параметров закона распределения;

— проверка согласия теоретического и статистического распреде­лений по критериям согласия Пирсона 2 или Колмогорова l;

— построение графика теоретической кривой распределения, если это необходимо.

Для большей наглядности и компактности статистические данные преобразуют в статистический ряд, который строится по следующему признаку: для непрерывных случайных величин определяют размах выборки, т. е. разницу между максимальными и минимальными значениями R = xmax – xmin, затем размах выборки делят на разряды (классы, интервалы) и определяют ширину классового промежутка.

Число классов зависит от числа наблюдений:


, (5.3)
где N — общее число наблюдений.

Значение классового промежутка вычисляют по формуле:


. (5.4)
После этого определяют середины классов и их границы и подсчитывают частоты, т. е. число значений случайной величины xi, приходящихся на каждый интервал.

Существует несколько способов вычисления параметров распреде­ления [4, 6, 9]. Рассмотрим на примере более подробно порядок опреде­ления среднего арифметического и дисперсии по способу произведений.

Составление статистического ряда и все последующие вычисления произведем на примере [5, 6], исходные данные которого представляют собой наработки на отказ в мото-часах гидросистемы автомобиля:
413 450 419 412 427 435 404 430 421 399

432 420 416 407 427 428 417 398 424 420

414 410 409 416 430 403 426 407 400 423

423 434 402 431 410 405 436 405 424 405

433 395 433 420 439 398 437 422 394 416

414 386 428 441 397 417 418 414 429 417

401 424 411 426 380 419 406 419 429 406

425 391 432 409 418 418 386 421 415 417

413 413 444 392 411 428 394 431 411 422

424 434 408 443 407 421 422 410 423 409

Число классов статистического ряда определяем по формуле (5.3):
.

Принимаем r = 8.

Размах выборки для нашего ряда равен:
R = 450 – 380 = 70.
Значение классового промежутка находим по формуле (5.4):
K = 70 / 8 = 8,75.
Для удобства вычисления принимаем К = 10.

Середина классов W — полусумма начала данного класса и начало следующего класса. Середины крайних классов принимаем близкими к наименьшему и наибольшему значениям случайной величины.

Начало Wa и конец Ww класса находим по формулам:
Wa = W – 0,5 k , (5.5)
Ww = W + 0,5 – h , (5.6)
где h — принятая точность измерения случайной величины.

Например, для класса с серединой W = 420


Wa = 420 – 0,5 × 10 = 415; Ww = 420 + 0,5 × 10 – 1 = 424.
Пример составления статистического ряда приведен в табл. 5.1.
Таблица 5.1


Границы

класса


Середина

класса


Разноска значений

случайной величины



Частота

444 — 454

450




1

435 — 444

440




7

425 — 434

430




20

415 — 424

420




30

405 — 414

410




25

395 — 404

400




10

385 — 394

390




6

375 — 384

380




1

Всего:





100

Среднее арифметическое значение случайной величины способом произведений вычисляем по формуле:


X = A + K × S1 / N , (5.7)
где A — условная средняя, середина модального или близкого к нему класса, принимаем A = 420; S1 — первая сумма
S1 = åfa , (5.8)
где a — условные отклонения середин классов, выраженные в классовых промежутках.

а = (Wi – А) / К. (5.9)
Среднее квадратичное отклонение определяем по формуле:
, (5.10)
где с — сумма взвешенных квадратов центральных отклонений середин классов от средней ряда, выраженная в квадратах классовых промежутков,

, (5.11)
S2 - вторая сумма
S2=åfa2 . (5.12)
Дисперсию находим по выражению:
. (5.13)
В табл. 5.2 приведены вспомогательные вычисления для определения x,s, v.

Таблица 5.2





W

f

a

fa

fa2

450

1

+ 3

+ 3

9

440

7

+ 2

+ 14

28

430

20

+ 1

+ 20

20

420

30

0

0

0

410

25

– 1

– 25

25

400

10

– 2

– 20

40

390

6

– 3

– 18

54

380

1

– 4

– 4

10

Всего:

100



– 30

192

Расчеты, произведенные по формулам (5.7), (5.8), (5.9), (5.10), (5.11), (5.12), (5.13), дают следующие результаты: S1 = 30; S2 = 192; X = 417; c = 183; D = 184; s = 13,60; V = 0,03.

После вычисления параметров распределения определяют вид закона распределения случайной величины.



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница