Краткие сведения из теории вероятностей и математической статистики общие понятия


Определение вида закона распределения случайной величины



страница5/11
Дата05.03.2019
Размер0.7 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

5.3. Определение вида закона распределения случайной величины

Закон распределения случайной величины определяют в следующей последовательности:

— выравнивают эмпирический ряд одним из теоретических распределений;

— производят оценку различий эмпирического и теоретического распределений по критериям 2 или l.

Рассмотрим выравнивание эмпирических статистических кривых при разных законах распределения случайной величины и проверку согласованности эмпирического и теоретического распределений.

Нормальный закон

Теоретические частоты при нормальном законе распределения случайной величины определяют по формуле:


, (5.14)
где f(х) — первая функция нормирования отклонения, представляет собой нормальный закон распределения при s = 1, значения его табулированы [6-8].

х — нормированные отклонения середин классов,
. (5.15)
Пример. Выполним выравнивание статистического ряда, приведенного в табл. 5.2, по нормальному закону с параметрами [5, 6] Х = 417,0; s = 13,60; N = 100; К = 10.

Выравнивание приведено в табл. 5.3 и на рис. 5.1.



Закон распределения Вейбулла

Теоретические частоты для распределения Вейбулла определяют по формуле:



, (5.16)
где а — параметр распределения а = Х / Кв, Квкоэффициент распределения Вейбулла, находят по таблицам [6, 8]; а f (W / а) — табулированная функция [6].

Пример. Проведем выравнивание по закону Вейбулла следующего эмпирического распределения ресурса. (N = 46; K = 436; X = 1441; 5 мото-ч; s = 754,6 мото-ч; V = 0,52). При V = 0,52 находим в = 2 и Кв = 0,886 [5, 6].

Определим значение параметра распределения:


. (5.17)
Выравнивание приведено в табл. 5.4 и на рис. 5.2.

Таблица 5.3




Середина

класса


Эмпирическая

частота



W–X




f(x)

Теоретические

частоты


W

f















450

1

+ 33

2,43

0,021

1,5

1

440

7

+ 23

1,69

0,096

7,1

7

430

20

+ 13

0,96

0,252

18,5

18

420

30

+ 3

0,22

0,389

28,6

29

410

25

– 7

0,51

0,350

25,7

26

400

10

– 17

1,25

0,183

13,5

14

390

6

– 27

1,99

0,055

4,0

4

380

1

– 37

2,72

0,010

0,7

1

Всего

100







99,6

100

Таблица 5.4




Середина

Эмпирическая







Теоретические частоты

класса

W

частота

f

W/а

аf(W/а)





3214

2

1,98

0,0792

0,98

1

2778

3

1,71

0,1842

2,27

3

2342

4

1,44

0,3631

4,78

5

1906

6

1,17

0,5948

7,33

8

1470

7

0,90

0,8007

9,87

10

1023

14

0,64

0,8454

10,42

11

598

10

0,37

0,6417

7,91

8

Всего

46





43,56

46

Экспоненциальный закон

Теоретические частоты для экспоненциального закона распределения определяют по формуле:


, (5.18)

где е — экспоненциальная функция, значения которой табулированы;



х — условные отклонения середин классов
. (5.19)

Рис. 5.1. Кривые нормального распределения: 1 — экспериментальная; 2 — теоретическая


Рис. 5.2. Кривые нормального распределения: 1 — экспериментальная;

2 — теоретическая

Пример. Проведем выравнивание по экспоненциальному закону эмпирического распределения наработки на отказ. (N = 77; K = 36; X = 49,48 мото-ч) [5, 6].

Выравнивание эмпирического распределения наработки на отказ приведено в табл. 5.5 и на рис. 5.3.

Таблица 5.5



Середина

Эмпирическая







Теоретические частоты

класса

W

частота

f



е





234

2

3,36

0,0344

1,373

2

198

4

2,85

0,0578

2,306

3

162

3

2,33

0,0973

3,882

4

126

9

1,81

0,1636

6,528

7

90

8

1,30

0,2725

10,873

11

54

23

0,78

0,4584

18,290

19

18

28

0,26

0,7710

30,763

31

Всего

46





74,015

77

Рис. 5.3. Кривые экспоненциального распределения: 1 — экспериментальная,

2 — теоретическая

Оценка различий эмпирического и теоретического распределений

Методика оценки различий эмпирического и теоретического распределений для различных законов одна и та же. Для проверки согласованности теоретического и статистического распределений наиболее распространенным является критерий 2 Пирсона. Величину

критерия 2 рассчитывают по формуле:
, (5.20)
где 2 — стандартные значения критерия; f, f` — эмпирические и теоретические частоты классов соответственно.

Значения 2 находят по специальным таблицам в зависимости от числа степеней свобод n [6, 8].

Первичное n1 и вторичное n2 числа степеней свободы определяют по следующим формулам:
n1 = r1 - 3 ; n2 = r2 - 3.
Крайние классы с частотой f` £ f`min объединяют с соседними клас­сами f`min — минимально допустимая теоретическая частота крайних классов в зависимости от начального числа степеней свободы (табл. 5.6).
Таблица 5.6





1

2

3 ¸ 6

> 6

f`min

4

2

1

0,5

Различия распределений могут считаться случайными, если эмпирический критерий не достигает требуемого порога вероятности b. Необходимо ориентироваться на три уровня вероятности: при малой ответственности исследований b1 ³ 0,999; при обычной b2 ³ 0,99; при большой b3 ³ 0,95.



Пример. Оценить различие распределений по данным примера для закона распределения Вейбулла. Схема определения различия распределений приведена в табл. 5.7.

Число классов в распределениях до и после объединения:

r1 = r2 = 7.

Число степеней свободы (первичное и вторичное) равно

n1 = n2 = 7 – 3 = 4.

Таблица 5.7





W

f

f`

f f`

(f f`)2

(f f`)2 / f`

3214

2

0,98

1,02

1,04

1,060

2778

3

2,27

0,73

0,55

0,240

2342

4

4,78

0,78

0,60

0,125

1906

6

7,33

1,33

1,77

0,240

1470

7

9,87

2,87

8,24

0,834

1034

14

10,42

3,58

12,82

1,230

598

10

7,91

2,09

4,37

0,552

Всего:

46

43,56





4,281

По таблицам [6-8] находим стандартное значение 2 при b соответственно 0,95; 0,99; 0,999.

Таким образом, при любой ответственности испытаний 2 < c02.

Различия не достоверны. Можно считать, что эмпирическое распределение согласуется с распределением Вейбулла.




Каталог: docs -> ymk -> tovar
ymk -> Тема Фирменный автосервис
ymk -> Эксплуатационные материалы
ymk -> Тесты для сдачи экзамена, список рекомендуемой учебно-методической литературы для студентов всех форм обучения специальности 080401 «Товароведение и экспертиза товаров»
ymk -> Органическая химия
ymk -> Тесты напишите номер правильного ответа: При использовании иммерсионной системы микроскопирования разрешающая способность: повышается понижается
ymk -> Учебно-методический комплекс по дисциплине «Информатика» для специальности 110305 «Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции»


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница