Краткие сведения из теории вероятностей и математической статистики общие понятия


Выборочные наблюдения и размер выборки



страница6/11
Дата05.03.2019
Размер0.7 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

5.4. Выборочные наблюдения и размер выборки

Группа объектов, предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком, либо свойством качественного или количественного характера, называется совокупностью. Объекты или явления, образующие совокупность, называются единицами совокупности. В математической статистике такая совокупность объектов, которая исследуется с точки зрения изучения некоторого признака, носит название генеральной совокупности. Практически подвергнуть обследованию всю совокупность объектов весьма сложно и не требуется для получения приемлемой точности. Поэтому контролируют только небольшую часть генеральной совокупности.

Часть объектов, которая подвергается контролированию, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Основной задачей выборочного метода является оценка надежности какой-то большой группы машин по ее незначительной части, т. е. по выборке. Это приближенные оценки вероятностного характера. Теоретической основой выборочного метода являются закон больших чисел и центральная предельная теорема [6], согласно которым при неограниченном возрастании объема выборки ее характеристики сходятся по вероятности с соответствующими характеристиками генеральной совокупности.

В математической статистике доказывается, что закон больших чисел и центральная предельная теорема справедливы с достаточной для практики точностью уже при объеме выборки более 30.

При определении объема выборки предполагают заранее заданными значение допустимой относительной ошибки d или точность (абсолютную погрешность) ± e, доверительную вероятность a и закон распределения.

Для большинства практических задач, законы распределения которых описываются нормальным законом или близким по форме к нормальному, объем выборки определяют по формуле:
, (5.21)
где Up — квантиль нормального распределения, зависящий от принятой доверительной вероятности a, находят табл. 5.8 квантилей нормального распределения для P = (1 + a) / 2.

Таблица 5.8




P

Up

P

Up

P

Up

P

Up

0,5

0,000

0,75

0,6745

0.97

1,881

0,999

3,090

0,55

0,1257

0,80

0,8416

0,957

1,960

0,9995

3,290

0,60

0,2533

0,85

1,036

0,99

2,326







0,65

0,3853

0,90

1,282

0,995

2,576







0,70

0,5244

0,95

1,645

0,999

2,48






Между абсолютной погрешностью e и относительной ошибкой d существует зависимость



. (5.22)
Пример. Требуется определить число обследуемых автомобилей для оценки ресурса поршня ускорительного насоса карбюратора с точностью e = ±5 тыс. км при доверительной вероятности a = 0,95 и среднем квадратичном отклонении s = 17 тыс. км [6, 11].

Определяем вероятность P = (1 + 0,95) / 2 = 0,975. По табл. 5.8 находим Up = 1,96. Отсюда объем выборки, т. е. число обследуемых автомобилей



.

5.5. Доверительные оценки и методы их определения

В рассмотренных методах оценки числовых характеристик случайных величин (математическое ожидание, дисперсия и др.) неизвестный параметр определяется одним числом. Такая оценка называется точечной, так как числовое значение можно интерпретировать как точку на числовой оси. При оценке надежности машин и оборудования требуется не только найти для заданного параметра числовое значение, но и оценить его точность и достоверность, необходимо определить, к каким ошибкам может привести замена искомого параметра его точечной оценкой и с какой степенью уверенности можно ожидать, что его ошибки не выйдут за известные пределы. В математической статистике для этой цели используют так называемые доверительные интервалы и вероятности.

Пусть для параметра Х (например, математического ожидания) получена по результатам выборочного обследования точечная оценка этого параметра Х. Требуется определить ошибку замены параметра Х его точечной оценкой Х. Назначим некоторую вероятность b (b = 0,9) и определим такое значение ошибки e > 0, для которого:
P ( X - e < Х < X + e ) = b. (5.23)
Это равенство означает, что с вероятностью b неизвестное значение параметра Х попадет в интервал
Jb = ( X - e ; X + e ). (5.24)
Интервал Jb называется доверительным, а b — доверительной вероятностью.

Рассмотрим зависимости, используемые при построении доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Для математического ожидания границы доверительного интервала определяют по формуле:
, (5.25)
где tb — коэффициент распределения Стьюдента, определяемый по таблицам [7, 8] в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы или размера выборки N = 1.

Доверительный интервал для дисперсии:


, (5.26)
где c12, c22 — критерии Пирсона, определяемые для вероятностей соответственно:

; (5.27)
. (5.28)
Пример. Определить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии ресурсных испытаний, если объем выборки N = 9 [11].

Ресурс распределен по нормальному закону с параметрами Х = 362 мото-ч, s = 173,86 мото-ч, V = 0,48.

При b = 0,90 и N — 1 = 8; коэффициент Стьюдента tb = 2,31 [7].

Доверительный интервал для математического ожидания ресурса согласно формуле (5.25) равен:


.
Таким образом, точное значение ресурса с вероятностью 0,9 находится в пределах от 228,13 до 495,87 мото-ч.

Доверительный интервал для дисперсии находим, используя формулы (5.26), (5.27), (5.28) и таблицы для определения 2 [6, 8, 9].


; ; c12 = 15,51 ; c22 = 2,73
D = s2 = 173,86 2 = 30227,30.
Окончательно получим:



Каталог: docs -> ymk -> tovar
ymk -> Тема Фирменный автосервис
ymk -> Эксплуатационные материалы
ymk -> Тесты для сдачи экзамена, список рекомендуемой учебно-методической литературы для студентов всех форм обучения специальности 080401 «Товароведение и экспертиза товаров»
ymk -> Органическая химия
ymk -> Тесты напишите номер правильного ответа: При использовании иммерсионной системы микроскопирования разрешающая способность: повышается понижается
ymk -> Учебно-методический комплекс по дисциплине «Информатика» для специальности 110305 «Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции»


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница