Краткие сведения из теории вероятностей и математической статистики общие понятия


ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПРИ ОДНОФАКТОРНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ



страница7/11
Дата05.03.2019
Размер0.7 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

6. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПРИ ОДНОФАКТОРНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Однофакторный метод исследования наиболее распространен в силу своей простоты и возможности непосредственного анализа опреде­ляемой функциональной зависимости, описывающей физический про­цесс. При использовании этого метода в результате эксперимента полу­чают несколько значений определяемого параметра yi в заданных точках xi. Соединив экспериментальные точки отрезками прямых на графике, получим ломанную линию. Форма этой линии не восстановится при повторном проведении эксперимента, так как каждый результат измерения сопровождается ошибками. Поэтому для аналитического описания рассматриваемого процесса необходимо аппроксимировать экспериментальные данные функциональной зависимостью вида y = f(x), т. е. максимально достоверно приблизить форму полученной ломанной линии к форме кривой, описываемой уравнением y = f(x).

Данную задачу можно решить методом наименьших квадратов, в основе которого лежит требование, чтобы сумма среднеквадратических отклонений Di анализируемой функции определенного вида y = f(x) от экспериментальных данных yi была минимальной, т. е.:
, (6.1)
где — количество всех экспериментальных точек.

6.1. Аппроксимация экспериментальных данных линейными функциональными зависимостями


Линейными функциональными зависимостями вида


y = a + bx (6.2)
описываются многие закономерности изменения параметров, рассматриваемых в технической эксплуатации АТС, например, зазора между накладками и тормозными барабанами, свободного хода педали сцепления и др. [12].

Чтобы описать эти закономерности функцией вида (6.2), необходимо определить параметры a и b. Для этого в формулу (6.2) подставляют все найденные экспериментальные значения хi и yi и получают систему:



где n — количество экспериментальных точек.

Из условия (6.1) следует:


. (6.3)
Так как переменными величинами в этом выражении являются коэффициенты а и b, то для них необходимо найти такие значения, при которых указанное выражение имеет минимум. Для этого определяют частные производные по коэффициентам а, b и приравнивают их к нулю. Обозначая через Е левую часть выражения (6.3), находим частные производные:
,

(6.4)


.
Приравнивая полученные выражения к нулю и проведя преобразования, получаем:
(6.5)
Линейные уравнения (6.5) называют нормальными уравнениями. Из решения данной системы получаем формулы для коэффициентов а и b:

(6.6)



В результате определения коэффициентов а и b находят положение аппроксимирующей прямой на плоскости xOy. На экспериментальном графике прямую удобно проводить по двум наиболее удаленным точкам, найденным из основного уравнения с экспериментально определенными параметрами а и b.

Пример 6.1. Эффективность действия тормозов определяют на тормозном стенде по изменению тормозной силы на колесах ST от усилия на педали SП. В табл. 6.1 представлены результаты определения эффективности тормозов автомобиля "Москвич". Определить функциональную зависимость ST = f (Sn), считая ее линейной. На график нанести положение экспериментальных точек и аппроксимирующей прямой.

Таблица 6.1

Результаты измерений на тормозном стенде


Sп, кН

0.05

0.10

0.18

0.25

0.31

0.37

0.42

0.50

0.53

0.60

Sт, кН

0.56

0.86

1.60

2.01

2.43

3.10

3.62

4.21

4.49

5.10

В соответствии с (6.5) система уравнений имеет вид


(6.7)
В результате расчетов получаем:

Решаем систему


и получаем

Уравнение аппроксимирующей прямой имеет вид


(6.8)
На рис. 6.1 на основании уравнения (6.8) проведена прямая, аппроксимирующая экспериментальные данные табл. 6.1.
SТ,кН

SП, кН
Рис. 6.1. График эффективности действия тормозов автомобиля "Москвич"



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница