Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей



Скачать 224.25 Kb.
страница1/3
Дата14.12.2017
Размер224.25 Kb.
#3577
ТипМетодические указания
  1   2   3


Министерство образования и науки Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Методические указания к практическим занятиям

и самостоятельной работе студентов по курсу математики

для студентов всех специальностей

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов 2010
1.ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Аналитические функции комплексной переменной.
Определение 1.1. Окрестностью точки комплексной плоскости называется круг произвольного радиуса с центром в , взятый без ограничивающей этот круг окружности.

Учитывая, что расстояние между любыми точками и на комплексной плоскости равно , а также тот факт, что упомянутый круг D есть множество точек , удаленных от на расстояние меньшее, чем , мы можем аналитически задать его в виде .



Определение 1.2. Множество точек D комплексной плоскости С называется областью, если выполнены два условия:

1) D – открытое множество, т.е. всякая точка входит в него вместе с некоторой своей окрестностью;

2) D – связное множество, т.е. любые его две точки можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в D.

Примерами часто встречающихся в теории аналитических функций областей могут служить:

1) вся комплексная плоскость С;

2) открытый круг D = с центром в точке aС радиуса R > 0; 3) кольцо с центром в точке aС, ограниченное окружностями радиусов , где



Определение 1.3. Говорят, что в области D С определена функция комплексной переменной , если каждому по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное число или несколько таких чисел. В первом случае функция называется однозначной, во втором – многозначной.

Пусть Тогда зависимость между аргументом и комплексной функцией можно задать с помощью двух действительных функций и от двух действительных переменных и :



Например, функция может быть представлена в виде , где




Определение 1.4. Пусть функция определена в области D комплексной плоскости и пусть точки и принадлежат D. Функция называется дифференцируемой (моногенной) в точке , если существует конечный предел

,

причем величина этого предела не зависит от формы пути, вдоль которого приращение стремится к нулю. Этот предел называется производной функции в точке и обозначается символом или .



Определение 1.5. Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в самой этой точке, а также в некоторой ее окрестности. Функция, аналитическая в каждой точке некоторой области D называется аналитической в области D.

Отметим, что определения производной для функций действительной и комплексной переменной формально выглядят одинаково. Однако требование независимости величины предела от способа стремления к нулю приращения в комплексном случае является очень жестким и приводит к важным отличиям от случая действительной переменной. В частности, из аналитичности функции следует существование у нее ее производных любого порядка.



Определение 1.6. Производной от комплексной функции действительного аргумента где действительные функции и дифференцируемы на (в точках и под дифференцируемостью понимают наличие односторонних производных), называется функция

Теорема 1.1. Для дифференцируемости функции , в точке необходимым и достаточным условием является одновременное выполнение двух требований:

1) функции и дифференцируемы как функции двух действительных переменных;

2) функции и в точке удовлетворяют так называемым условиям Коши-Римана:

С помощью этой теоремы можно установить, в частности, является ли данная функция аналитической в какой-либо области или нет. Например, нетрудно убедиться, что рассмотренная нами ранее функция является аналитической во всей плоскости. Действительно, вычисляя соответствующие частные производные, непосредственно убеждаемся, что условия Коши-Римана выполнены во всех точках плоскости:




Кроме того, эти частные производные являются многочленами от переменных и потому непрерывны всюду. Как известно из курса математического анализа, непрерывность частных производных функции двух переменных влечет за собой ее дифференцируемость. Таким образом, функции дифференцируемы и удовлетворяют условиям Коши-Римана. Поэтому на основании теоремы 1.1 заключаем, что функция является аналитической во всей комплексной плоскости.

Еще одно применение теоремы 1.1 связано с восстановлением аналитической функции , если известна только ее действительная или только мнимая часть.



Пример 1.1. Восстановить аналитическую функцию по заданной мнимой части

Решение. Сразу отметим, что в условиях задачи восстановление возможно только с точностью до постоянного слагаемого. В силу первого условия Коши-Римана имеем

откуда интегрированием по находим функцию



Здесь – произвольная функция аргумента . Считая функцию дифференцируемой, подберем ее так, чтобы функция удовлетворяла также и второму условию Коши-Римана . Находим



т.е. Отсюда



так что


и

.

Если теперь учесть, что

то окончательно получим, что искомая аналитическая функция имеет вид



где – произвольная действительная постоянная.



Интеграл от функции комплексной переменной.
Определение 1.7. Говорят, что на комплексной плоскости задана непрерывная кривая , если задано непрерывное отображение отрезка в комплексную плоскость C, т.е. если на определена непрерывная комплексная функция действительного аргумента .

Переменная называется параметром, значения функции точками кривой , а совокупность всех значений функции – множеством точек (траекторией) этой кривой. Кривая называется замкнутой, если Замкнутую кривую часто называют контуром.

Таким образом, кривая – это геометрическое место точек на комплексной плоскости с указанным направлением обхода, соответствующим возрастанию параметра (точнее, множество точек и закон, по которому каждая такая точка сопоставляется значению параметра ). Например, функция задает единичную окружность, проходимую один раз против часовой стрелки, если параметр возрастает от 0 до .

Определение 1.8. Кривая называется гладкой, если функции и непрерывно дифференцируемы на (т.е. если и существуют и непрерывны в каждой точке интервала и, кроме того, существуют конечные односторонние пределы и ), причем производные и одновременно не обращаются в ноль в точках этого отрезка. Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно представить в виде объединения конечного числа гладких кривых, попарно пересекающихся не более, чем в одной точке.

Примерами гладких кривых служат окружность, эллипс, прямая, а также графики всех простейших элементарных функций. Примеры кусочно-гладких кривых – ломаная, любой многоугольник, граница сегмента, сектора.



Определение 1.9. Интегралом от комплексной функции действительного аргумента где вещественные функции и непрерывны, называется число

.

Определение 1.10. Пусть в точках гладкой кривой определена функция , где и непрерывны. Интегралом от функции комплексной переменной вдоль кривой , заданной параметрическим уравнением называется число

Если – кусочно-гладкая кривая, состоящая из гладких кривых , то интеграл определяется как сумма



Комплексный интеграл может быть сведен к двум вещественным криволинейным интегралам второго рода по формуле



Из этой формулы следует, что свойства интеграла от функции комплексной переменной аналогичны свойствам криволинейного интеграла второго рода. В частности, при изменении направления обхода пути интегрирования интеграл меняет свой знак на противоположный. Отметим также, что для интеграла можно дать эквивалентное приведенному выше определение, использующее понятие предела соответствующих интегральных сумм, подобно тому, как это делается для криволинейного интеграла от вещественной функции двух переменных.

Центральным фактом теории аналитических функций является так называемая интегральная теорема Коши: пусть функция аналитична в области и – замкнутая кусочно-гладкая кривая без самопересечений, которая вместе со своей внутренностью (т.е. областью, ограниченной этой кривой) полностью лежит в Тогда интеграл от вдоль кривой равен нулю:


Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
Определение 1.11. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(1.1)

где – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда, – также некоторое постоянное число, – комплексная переменная.

Известно, что любой степенной ряд сходится в круге («круге сходимости»), центр которого находится в точке , а радиус R («радиус сходимости», 0≤R ≤+) однозначно определяется коэффициентами ряда (1.1). В предельных случаях при и сходимость будет иметь место, соответственно, в одной точке и во всей плоскости. Сумма ряда является аналитической, по крайней мере в его круге сходимости, функцией. Вне замыкания круга сходимости, т.е. на множестве ряд расходится.

Теорема 1.2. Пусть однозначна и аналитична в области D, точка и R > 0 – кратчайшее расстояние от до границы области D. Тогда в круге функция представима в виде суммы степенного ряда

коэффициенты которого вычисляются по формулам



(1.2)

или


(1.3)

Каталог: new -> SubjectFGOS
SubjectFGOS -> Лекция №6 экологические принципы рационального использования природных ресурсов и охраны природы. Основы экономики природопользования
SubjectFGOS -> Основы порошковой металлургии
SubjectFGOS -> Учебное пособие для студентов всех специальностей Саратов 2009 Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком
SubjectFGOS -> 10. Особо опасные экотоксиканты
SubjectFGOS -> Окислительно-восстановительные реакции
SubjectFGOS -> Вопросы для подготовки к экзамену по информатике
SubjectFGOS -> Лекция №8 Метаболизм микроорганизмов План лекции: Обмен веществ как совокупность реакций катаболизма и анаболизма
SubjectFGOS -> Методические указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине «Информатика» студентами направления 080500. 62 «Менеджмент»
SubjectFGOS -> Информационные технологии в управлении
SubjectFGOS -> Методические указания к выполнению лабораторной работы по курсу "Основы технологии производства и ремонта автомобилей" для студентов специальности

Скачать 224.25 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3




База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница