Методические указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в четвертом семестре



страница3/5
Дата22.06.2019
Размер3.57 Mb.
#107358
ТипЛекция
1   2   3   4   5

Предел и непрерывность функции.
Комплексное число b называется пределом функции f(z) при ,

.

Это определение – то же, что определение предела функции действительной переменной с той лишь разницей, что модуль здесь имеет смысл расстояния на комплексной плоскости, а не на действительной прямой, как раньше. Кроме того, окрестность точки – не интервал с центром в этой точке, а круг без границы с центром в этой точке.

Функция называется непрерывной в точке , если .

Функция называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Область M называется областью однолистности функции , если

Линейная функция осуществляет линейное отображение комплексной плоскости на себя. . Отсюда видно, что линейное отображение сводится к растяжению в раз и повороту на комплексной плоскости. Здесь область однолистности – вся плоскость.

Инверсия ( ) переводит все точки, лежащие вне единичной окружности внутрь и наоборот. Точки остаются на месте, единичная окружность отображается на себя.

Отображение ( ) часть действительной оси ( ) и верхнюю полуплоскость отображает на всю плоскость. Часть действительной оси ( ) и нижняя полуплоскость тоже отображаются на всю плоскость. Здесь две области однолистности. Поэтому обратная функция двузначна.

Упражнение. Покажите, что при отображении существует n областей однолистности. Выделите их. Функция поэтому n – значна.

Отображение переводит прямую, параллельную мнимой оси ( ) в - окружность с центром в начале координат, радиусом . Прямая, параллельная действительной оси переводится в - луч из начала координат под углом y к действительной оси.

Поэтому полоса размером вдоль действительной оси переводится во всю плоскость и представляет собой область однолистности (каждый отрезок в полосе, параллельный мнимой оси (x = a) отобразится в окружность радиуса a с центром в начале координат, меняя a, заполним этими окружностями всю плоскость). Следовательно, здесь бесконечное количество областей однолистности, а обратная функция - бесконечнозначна.


Производная функции комплексной переменной вводится так же, как и для функции действительной переменной

.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде



, то есть - бесконечно малая при . Главная линейная относительно часть приращения функции в точке , называется дифференциалом функции в точке , ( ).

Замечание. Функция двух переменных называется дифференцируемой в точке ( ), если ее приращение в этой точке можно представить в виде

+ + ,

где , - бесконечно малые при ,



, .

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала ее конечная производная в этой точке.

Доказательство. Проводится так же, как и для функции действительной переменной с использованием теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой.

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда

,

Делим обе части на



. Так как - бесконечно малая при , то по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой, .

Поэтому - формула для вычисления дифференциала.

Достаточность. Пусть в точке существует конечная производная функции . Тогда по теореме о связи функции, предела и бесконечно малой . Умножая на , получим . Следовательно, функция дифференцируема в точке .

Функция называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.



Теорема (Коши Римана). Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части , были бы дифференцируемы в этой точке как функции двух переменных и в этой точке выполнялись бы условия Коши Римана

, причем .

Замечание. С учетом условий Коши – Римана производная функции в точке может быть записана так: = =

= =



Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке z0. Тогда

.

Пусть , .





.

Отделяя действительную и мнимую части, имеем:



,

.

Следовательно, функции дифференцируемы в точке

Из первого соотношения следует, что

.

Из второго соотношения следует, что



, .

Поэтому . .



Достаточность. Пусть функции дифференцируемы в точке и выполняются условия Коши – Римана.

где - бесконечно малые при .

.

Функции - бесконечно малые при , поэтому они являются бесконечно малыми при . Справедливы неравенства . Поэтому отношения приращений в двух последних скобках – ограниченные величины. Следовательно, выражения в двух последних скобках – бесконечно малые величины при как произведения бесконечно малых на ограниченные. Обозначим два последних слагаемых - бесконечно малая при .



.

Умножая это выражение на , получим



.

Следовательно, функция дифференцируема в точке .

Условия Коши – Римана позволяют легко проверить дифференцируемость функции в точке.

Функция называется аналитической в области, если она дифференцируема в области.

Функция называется аналитической в точке, если она дифференцируема в этой точке и некоторой ее окрестности.
Основные элементарные функции аналитические на всей комплексной плоскости.

Проверим, например, условия Коши – Римана для функции





Условия Коши – Римана выполнены при любых значениях переменных, функция аналитическая во всей комплексной плоскости.

Пример. Функция z = x не является дифференцируемой ни в одной точке, так как .

Пример Функция .

. Функция дифференцируема только в точке z=0 и более ни в одной точке. Она не аналитическая ни в одной точке, поскольку для аналитичности кроме дифференцируемости в точке нужна еще дифференцируемость в некоторой области.

Пример. не является дифференцируемой ни в одной точке, так как условия Коши – Римана не выполнены, .

Лекция 3

Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.

Рассмотрим комплекснозначную дифференцируемую в точке t и некоторой ее окрестности функцию действительной переменной z(t).


Рассмотрим точку z , дадим приращение z, = arg z. Тогда .

При секущая переходит в касательную, , где -

угол наклона касательной к графику в точке

. Тогда =

Наличие ненулевой производной означает наличие касательной к графику функции с углом наклона к действительной оси, равным .
Рассмотрим теперь комплекснозначную аналитическую функцию комплексной переменной . Пусть , где - действительное число. Тогда - комплекснозначная функция действительной переменной z(t), дифференцируемая в точке t и некоторой ее окрестности.

Касательная к графику функции, по рассмотренному выше, имеет угол наклона к действительной оси равный .

По теореме о сложной функции , поэтому

. Следовательно, - аргумент производной аналитической функции . имеет смысл угла поворота касательной к кривой в точке при ее отображении посредством функции .

Так как , , то - модуль производной аналитической функции имеет смысл коэффициента растяжения при отображении посредством функции . Все это справедливо в тех точках, в которых производная отлична от нуля.


Если две кривые отображаются посредством аналитической функции , то угол наклона касательной к каждой кривой изменяется в точке z на один и тот же угол , поэтому углы между кривыми сохраняются при отображении посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля).

Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным. Поэтому отображение посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля) является конформным.

Пример. Линейное отображение ( ), как было показано выше, сводится к повороту на угол и растяжению в раз.
Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.

Пусть задана функция , требуется определить, может ли она быть действительной частью некоторой аналитической функции , а если может, то восстановить эту функцию.

Та же задача может быть поставлена относительно мнимой части. Пусть задана функция , требуется определить, может ли она быть мнимой частью некоторой аналитической функции , а если может, то восстановить эту функцию.

При решении этих задач сначала надо проверить, существует ли такая аналитическая функция .


Справедлива теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции есть функции гармонические (т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа).

Доказательство. Если - функция аналитическая, то выполнены условия Коши – Римана . Дифференцируем частным образом первое равенство по x, второе по y и складываем. Получим , поэтому функция - гармоническая. Дифференцируем частным образом первое равенство по y, второе по x и вычитаем из первого равенства второе. Получим , поэтому функция - гармоническая.


Следовательно, если функция или функция не являются гармоническими, то аналитическую функцию построить нельзя.
Пусть функция и функция - гармонические функции. Покажем, как можно восстановить аналитическую функцию по известной действительной части .

Восстановление функции по аналогично.



1 способ.



Сравнивая оба выражения, определяем . Теперь .

Замечание. При восстановлении по функция восстанавливается с точностью до действительной постоянной, а не мнимой.



2 способ. (как в первом способе). Если при интегрировании второго условия Коши – Римана возникают проблемы, то можно продифференцировать полученное соотношение по x и приравнять известной функции.

. Решая это дифференциальное уравнение, получим , +С, .

3 способ. В первых двух способах функция восстанавливается как функция x, y. Гораздо приятнее получить ее в виде f(z). В третьем способе используется формула для производной . Так как функция известна, то определяется как функция (x, y). Функцию определяем по формуле



.

Пример. Задана функция = . Проверить, можно ли восстановить аналитическую функцию с такой действительной частью. Если возможно, то восстановить.

Проверьте самостоятельно, что заданная функция является гармонической.

1 способ.



.

Сравнивая эти выражения, имеем ,



. Поэтому + С i = .

2 способ.





. ,

Поэтому + С i = .

3 способ.



. Здесь С – комплексное число.

Лекция 4


Интеграл от функции комплексной переменной.

Рассмотрим кусочно-гладкую дугу АВ. Введем разбиение дуги точками А=z0, z1….zk-1, zk, … zn =B. На каждом элементе дуги zk-1, zk отметим точку Обозначим длину элемента дуги zk-1, zk . Рассмотрим непрерывную на дуге АВ и в некоторой ее окрестности функцию комплексной переменной . Вычислим .

Построим интегральную сумму . Введем интеграл от функции комплексной переменной по дуге АВ как предел интегральной суммы при неограниченном измельчении разбиения.



Теорема существования. Пусть функция f(z) непрерывна в области G. Пусть кусочно-гладкая дуга L принадлежит области G. Тогда интеграл

существует как предел интегральных сумм

Причем предел этот не зависит:


  1. от выбора способа разбиения дуги на элементы, лишь бы дуга представляла собой объединение элементов, и пересечение любых двух соседних элементов было бы точкой или пустым множеством (но никак не дугой конечной длины),

  2. от выбора точек на элементе разбиения, в которых вычисляются значения функции,

  3. от способа «измельчения» разбиения, лишь бы выполнялось условие .

Свойства интеграла.


  1. Линейность а) = + , б) = . Заметим, что первое свойство иногда называют аддитивностью, второе – однородностью. Доказательство проводится через интегральные суммы, как в определенном, кратных и криволинейных интегралах.

  2. Аддитивность по множеству. Пусть . Тогда = + . Доказательство проводится через интегральные суммы с фиксацией граничной точки дуг на основании теоремы существования так же, как в определенном, кратных и криволинейных интегралах..




  1. «Ориентируемость» = , где –L – та же дуга L, но проходимая в другом направлении. Доказательство основано на том, что для дуги L , а для дуги –L и проводится через интегральные суммы, как в определенном и криволинейных интегралах..

  2. . Заметим, в правой части неравенства стоит криволинейный интеграл от функции , принимающей только действительные значения. Доказательство. . Переходя к пределу при , получим .

  3. Пусть

Доказательство. По свойству 4 .

  1. Доказательство. Достаточно показать, что и использовать свойство 1б). . Переходя к пределу при , получим .


Три формы записи интеграла.

= =

= = . Это – 1 форма записи в виде двух криволинейных интегралов.

Параметризуем дугу L: , .

. Подставляя в первую форму записи, имеем:

= .

Это – 2 ая форма записи – в виде двух определенных интегралов.

Параметризуем дугу L:z=z(t),



. Это – третья форма записи в виде определенного интеграла от комплексно - значной фунции действительной переменной.

О

А



В

L

Пример. Вычислить по трем различным дугам : 1) OB: y=x,



2) OB: y=x2,

3) OAB


1) Воспользуемся третьей формой записи интеграла, параметризуя дугу OB: (1+i)t, O(0,0) (t=0), B(1,i) (t=1). z2 = (1+i)2 t2, dz = (1+i) dt. = =

=


2) .

По первой форме записи интеграла



=

= .

3) OA: y = 0, dy = 0. AB: x =1, dx = 0. Поэтому



.

Как оказалось, результат во всех трех случаях один и тот же. В чем же здесь дело? Это – случай или закономерность? Ответ на этот вопрос дает интегральная теорема Коши.


Интегральная теорема Коши (для односвязной области).
Пусть G – односвязная область, пусть функция f(z) – аналитическая в G функция, пусть L – кусочно—гладкий контур, принадлежащий области G. Тогда .

Теорему можно сформулировать и так: интеграл от аналитической функции вдоль кусочно-гладкого контура равен нулю.


Доказательство.
Обозначим D – внутренность контура L . Запишем формулу Грина . Представим интеграл в первой форме записи через два криволинейных интеграла =
Применим к каждому слагаемому в правой части равенства формулу Грина. В первом интеграле примем P = u, Q = -v.

(для аналитической функции выполнены условия Коши – Римана ).

Во втором интеграле примем P = v, Q = u.

(условие Коши – Римана).

Поэтому .



Следствие. Пусть L1, L2 – две кусочно-гладких дуги в односвязной области G, соединяющие точки A, B. Пусть функция f(z) – аналитическая в области G. Тогда = .

Можно дать словесную формулировку: интеграл от аналитической функции в односвязной области вдоль кусочно-гладкой дуги не зависит от формы дуги, а зависит только от начальной и конечной точек дуги.



Доказательство. Образуем контур . По интегральной теореме Коши

. Но . Следовательно, .= .

Поэтому результат в рассмотренном выше примере не случаен.


Очень важный пример. Вычислить интеграл , где n – целое число, контур - окружность с центром в точке радиусом .
Покажем, что точки z на контуре можно описать уравнением , , - действительное число. В самом деле, , так как . Таким образом, контур - это геометрическое место точек комплексной плоскости, расположенных на расстоянии от точки - окружность с центром в точке радиусом .

Если , то подынтегральная функция – аналитическая внутри контура . Тогда по интегральной теореме Коши = 0.

Пусть . Так как точка z лежит на контуре , то , . Перейдем к переменной . Пусть .

=

по периодичности экспоненты.

Пусть . Тогда

= .

Вывод. = .

Интегральная теорема Коши для многосвязной области.

Пусть кусочно-гладкие контуры лежат внутри контура и вне друг друга. Пусть - аналитическая функция в области между контурами и на самих этих контурах. Тогда .

B

n

s



r

q

p





E

D



K

A

m



Соединим контуры линиями AB, CD, EK.

По интегральной теореме Коши интегралы по контуру AbpCDqEKmA и по контуру

AnKEsDCrBA равны нулю. Представим эти интегралы как сумму интегралов по составляющим контуры дугам и сложим эти интегралы, сокращая интегралы по одним и тем же дугам в разных направлениях



Складывая интегралы, получим



. Отсюда имеем

. Теорема доказана для случая n = 2. Для n > 2 доказательство аналогично.

Следствие 1. В условиях теоремы при n = 1 будет . Поэтому, если в какой-либо точке нарушается аналитичность функции, то интеграл может быть взят по любому кусочно-гладкому не самопересекающемуся контуру, охватывающему эту точку, мы получим один и тот же результат.

Следствие 2. Если кусочно-гладкий контур один раз охватывает некоторую точку, .а контур L n раз охватывает эту точку, то в условиях теоремы . Докажите это самостоятельно.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Введем интеграл с переменным верхним пределом . Ясно, что эта запись имеет смысл, если интеграл не зависит от дуги, по которой производится интегрирование, а зависит только от начальной и конечной точек дуги.
Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу.
Пусть

- функция непрерывна в односвязной области G,



  1. вдоль любой кусочно-гладкой дуги AB, принадлежащей G, не зависит от формы дуги, а зависит только от значений функции в точках A, B.

Тогда .
Доказательство.

.

,

Такая запись оправдана тем, что дугу, соединяющую точки z0 и z + z, можно провести через точку z, так как интеграл не зависит от формы дуги. На том же основании выберем дугу, соединяющую точки z и z + z, отрезком прямой линии, тогда , . Заметим, что (свойство 6 интеграла). Надо доказать, что .

Оценим

(По непрерывности функции . Точка t лежит на отрезке , соединяющем точки z и z + z, поэтому .)



(использованы свойства 4, 6 интеграла).

Следовательно, .

Поэтому . Теорема доказана.

Функция Ф(z) называется первообразной для функции f(z), если .



Следствие. По теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом, он является первообразной для подынтегральной функции.

Теорема. Пусть Ф1(z), Ф2(z) – две первообразные для функции f(z), тогда

Ф1(z) = Ф2(z) + С (С- константа).



Доказательство. Обозначим g(z) = Ф1(z) – Ф2(z). g(z) = Ф1(z) – Ф2(z) = f(z) – f(z)=0.

Пусть g(z) = u(x,y) + i v(x,y). Тогда . Отсюда



.
Формула Ньютона – Лейбница.
Пусть справедливы условия теоремы о производной интеграла с переменным верхним пределом. Пусть Ф(z) – первообразная для функции f(z). Тогда



Доказательство. по теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом – первообразная для функции f(z). Поэтому J(z)=Ф(z)+С.

J(z0) = 0 = Ф(z0) + C, отсюда С = - Ф(z0). Тогда J(z1) = Ф(z1) + С = Ф(z1) - Ф(z0).



Лекция 5.

Интегральная формула Коши.


Интегральная формула Коши
Пусть функция аналитическая в односвязной области G . Пусть кусочно-гладкий контур L принадлежит G вместе со своей внутренностью D . Пусть , тогда

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области



= , где - окружность с центром в точке , радиусом , . Радиус окружности выбран достаточно малым, чтобы окружность целиком лежала в области D. Так как (важный пример в предыдущей лекции), то . Оценим | | =

= | |

(на окружности , , так как . По непрерывности функции ).

. В силу произвольности | | = 0. Следовательно, .
Теорема. Аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой в области аналитичности.

Доказательство. Можно показать, что интеграл в интегральной формуле Коши можно дифференцировать по z0, как по параметру. Проводя это дифференцирование нужное число раз, получим формулу для n – ой производной аналитической функции.


, , ….

. Это - формула для n ой производной аналитической функции.

С помощью полученных формул (деля обе части на коэффициент перед интегралом) можно вычислять интегралы вида

, .
Примеры. 1. (по интегральной формуле Коши)

2. (по формуле для первой производной)

3. Вычислить . Аналитичность функции нарушается в точках z=0, z=1. Рассмотрим два контура: – окружности с центрами в точках z=0, z=1, радиусами r=1/4. . По интегральной теореме Коши для многосвязной области = + = =

= .



Лекция 6.
Ряды в ТФКП
Большая часть теорем из теории рядов ТФКП доказывается аналогично соответствующим теоремам из теории рядов действительных переменных.
Числовые ряды.
Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм или .

Теорема. Для того чтобы ряд , где , сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды из действительных и мнимых частей , .

Доказательство следует из теоремы лекции 2 относительно эквивалентности сходимости последовательности сходимости последовательностей действительных и мнимых частей .

Следствие. Если ряд или ряд расходятся, то ряд расходится.

Доказательство (от противного) – проведите сами.


Замечание. Эта теорема как раз и «перекидывает мостик» между изученными ранее рядами действительной переменной и рядами комплексной переменной.
Критерий Коши. Для того чтобы числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Необходимость. Если ряд сходится, то ряды , сходятся. Следовательно, для них выполняется критерий Коши. Тогда . .

Выбирая ,получим .
Достаточность. Пусть . Тогда, так как , то для рядов , выполнен критерий Коши. Следовательно, они сходятся. Тогда, по доказанной теореме ряд сходится.

Теорема. Если ряд сходится, то ряд сходится (если ряд сходится абсолютно, то он сходится).

Доказательство. Ряд – знакоположительный числовой ряд, так как - неотрицательное действительное число. Так как сходится и , то по первому признаку сравнения знакоположительных числовых рядов ряд сходится. Аналогично, так как , то по первому признаку сравнения ряд сходится. Поскольку ряды , сходятся абсолютно, то они сходятся. Тогда и ряд сходится.


Пример. Ряд сходится, так как по признаку Лейбница сходятся ряды из действительных и мнимых частей.

Функциональные ряды.
Функциональный ряд в каждой фиксированной точке представляет собой числовой ряд. Исследуя этот числовой ряд, можно выяснить, сходится или расходится функциональный ряд в данной точке z.

Функциональный ряд сходится в точке , если . Это так называемая обычная или поточечная сходимость функционального ряда, заметим, что зависит не только от , как в числовых рядах, но и от z, поэтому ряд может сходиться с разной скоростью в различных точках z.



Критерий Коши (поточечной сходимости ряда). Для того чтобы функциональный ряд сходился в точке z, необходимо и достаточно, чтобы .

Множество точек z, в которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.


Примеры

  1. Ряд сходится на всей комплексной плоскости. Проверим это. Исследуем ряд из модулей . Так как это числовой знакоположительный ряд, применим к нему признак Даламбера. . Ряд абсолютно сходится во всей комплексной плоскости.




  1. Ряд сходится только в точке . Проверьте это.




  1. Ряд абсолютно сходится в круге , проверьте это по признаку Даламбера или радикальному признаку Коши. На окружности ряд превращается в ряд из единиц, расходящийся, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда.




  1. Ряд абсолютно сходится в круге , проверьте это по признаку Даламбера или радикальному признаку Коши. На окружности ряд превращается в сходящийся ряд .

  2. Ряд абсолютно сходится в круге , проверьте это по признаку Даламбера или радикальному признаку Коши. Исследуем сходимость на окружности в различных ее точках. В точке имеем расходящийся гармонический ряд. В точке имеем ряд . Это – условно сходящийся ряд (по признаку Лейбница). В точке имеем ряд . Этот ряд рассмотрен выше, он сходится условно. В точке имеем ряд . Он тоже сходится условно, так как условно сходятся ряды из действительных и мнимых частей.

Функциональный ряд сходится равномерно в области G если . Это – равномерная сходимость функционального ряда в области G, заметим, что зависит только от , как в числовых рядах, поэтому ряд сходится с одной и той же скоростью в различных точках z области G.


Критерий Коши (равномерной сходимости ряда). Для того чтобы функциональный ряд сходился равномерно в области G, необходимо и достаточно, чтобы .
Для равномерно сходящихся функциональных рядов функций комплексной переменной справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и почленном дифференцировании. Формулировки этих теорем и доказательства идентичны теоремам о равномерно сходящихся рядах функций действительного переменного. Разница лишь в различном понимании модуля действительного и комплексного числа и в том, что интегрирование проводится по кусочно-гладкой дуге..

Аналогично формулируется и доказывается и признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.



Признак Вейерштрасса. Пусть члены функционального ряда мажорируются членами сходящегося числового ряда в некоторой области . Тогда функциональный ряд сходится равномерно в области G.

Доказательство. Для сходящегося числового знакоположительного ряда выполнен критерий Коши: .

Так как (по свойствам сходящихся числовых рядов можно считать, что неравенство выполняется, начиная с первого номера, т.е. для всех n), поэтому для функционального ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости ряда:



Следовательно, функциональный ряд сходится равномерно в области G.

Степенные ряды.
Степенные ряды - это частный случай функциональных рядов, в котором члены ряда представляют собой степени отклонения переменной от некоторой фиксированной точки плоскости (центра сходимости ряда). Степенные ряды действительной переменной сходятся в интервале , где - радиус сходимости ряда. Точно так же степенной ряд комплексной переменной сходится на множестве , только в комплексных числах это множество представляет собой круг без границы. Сходимость ряда на границе исследуется отдельно.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится в круге . Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится во внешности круга .

Доказательство (аналогично случаю действительной переменной).

  1. Пусть ряд сходится в точке и .

Так как ряд сходится в точке , то по необходимому признаку сходимости ряда .

Тогда .

Исследуем степенной ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей членов ряда. Оценим общий член ряда из модулей.

.

Ряд из модулей исходного ряда сходится по первому признаку сравнения числовых рядов (ряд сравнения – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ). Следовательно, исходный ряд в области сходится абсолютно.



Замечание. Казалось бы, что из признака Вейерштрасса в области следует равномерная сходимость исходного ряда, но здесь , а в признаке Вейерштрасса требуется указать один мажорирующий ряд для всех точек рассматриваемой области, то есть не должно зависеть от . Поэтому равномерную сходимость ряда в области утверждать нельзя. Однако если взять ( не зависит от ), то в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса.


  1. Пусть ряд расходится в точке и .

Если ряд сходится в точке , то по доказанному в пункте 1), он должен абсолютно сходиться в точке , следовательно, сходиться в точке . Это противоречит тому, что исходный ряд расходится в точке , следовательно исходный ряд расходится в области .
Определение радиуса сходимости и исследование сходимости ряда на границе круга сходимости.
Рассмотрим монотонно убывающую последовательность , такую, что в точке степенной ряд расходится. Если выбрать , то степенной ряд будет сходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизу нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел. То есть .

Такое число называется радиусом сходимости степенного ряда. Следовательно, степенной ряд абсолютно сходится в круге сходимости степенного ряда.


Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри круга сходимости.
Доказательство. Пусть . Выберем , например . На окружности степенной ряд сходится абсолютно, так как эта окружность лежит внутри круга сходимости. Тогда ( не зависит от ), тогда в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса (замечание в доказательстве теоремы Абеля).
Следствие. Внутри круга сходимости справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании (по любой кусочно-гладкой дуге, принадлежащей кругу сходимости) и дифференцировании ряда.
Теорема. При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не меняется.
Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей членов степенного ряда (это – знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и определим радиус сходимости по признаку Даламбера.

.

Продифференцируем почленно степенной ряд , перейдем к ряду из модулей и найдем радиус сходимости по признаку Даламбера.



.

Таким образом, при почленном дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не меняется. Он не меняется и при почленном интегрировании, иначе он изменился бы при почленном дифференцировании.



Исследуем сходимость степенного ряда на границе круга сходимости.

Рассмотрим ряд из модулей на границе круга сходимости .



  1. Если ряд из модулей на границе круга сходимости сходится, то исходный степенной ряд абсолютно сходится на всей границе.

В самом деле этот ряд является мажорантным для степенного ряда в любой точке границы.

  1. Если , то исходный степенной ряд расходится на всей границе.

В этом случае , и не выполняется необходимый признак сходимости для исходного степенного ряда на всей границе круга сходимости. Поэтому исходный степенной ряд расходится на всей границе.

  1. Если ряд из модулей на границе круга сходимости расходится, но , то исходный степенной ряд сходится в одних точках границе и расходится в других. В этом случае для того, чтобы исследовать сходимость в точке границы, надо подставить ее в качестве в степенной ряд и исследовать сходимость полученного числового ряда.

Приведенные выше примеры 3, 4, 5 (после критерия Коши): ряд , ряд , ряд иллюстрируют все три случая. Первый ряд расходится на всей границе , так как на ней не выполняется необходимый признак сходимости ряда. Второй ряд сходится на всей границе, третий ряд сходится в одних точках границы и расходится в других.
Теорема. Сумма степенного ряда является аналитической функцией в его круге сходимости (без доказательства).
Ряд Тейлора.
Рядом Тейлора называется степенной ряд вида (предполагается, что функция является бесконечно дифференцируемой).

Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при , то есть ряд .

Теорема. Степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.

Доказательство. Пусть и степенной ряд сходится в круге . Подставим в разложение , получим .

Так как сумма степенного ряда – функция аналитическая, мы можем дифференцировать функцию, а так как степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости, мы можем его дифференцировать почленно. Полученный ряд будет сходиться в том же круге, так как радиус сходимости при дифференцировании не меняется. Поэтому сумма этого ряда будет фунцией аналитической в том же круге. Ее вновь можно дифференцировать, дифференцируя почленно степенной ряд и т.д. Отсюда следует, что если аналитическая функция является суммой степенного ряда (это будет показано позже), то она является бесконечно дифференцируемой функцией. Вычислим коэффициенты в степенных рядах, полученных почленным дифференцированием. = ,



, , ,

, , ,

Продолжая этот процесс, получим . Это – коэффициенты ряда Тейлора.

Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.










Так как эти формулы справедливы на всей действительной оси, то по теореме Абеля они справедливы и на всей комплексной плоскости (в круге с началом координат бесконечного радиуса).



, .

, .
( интегрируя предыдущую формулу)

,

Лекция 8.

Теоремы Тейлора и Лорана
Теорема о разложении аналитической функции в степенной ряд

(теорема Тейлора).
Пусть функция - аналитическая в односвязной области с кусочно-гладкой границей , . Тогда функция разлагается в степенной ряд по степеням в круге (расстояние от точки до границы области).

Доказательство. Точка лежит внутри , поэтому можно выбрать целиком лежит в области

z0

R

R

z0



Пусть точка z принадлежит кругу . По интегральной формуле Коши

Разложим в ряд по степеням .



.

Так как , то полученный ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге .

Функция - аналитическая в и на , следовательно, она непрерывна и ограничена на . То есть на .

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию .



. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге . Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.



, где коэффициенты ряда Тейлора равны

. В самом деле, по следствию из интегральной формулы Коши

. Заметим, что точно так же записывался ряд Тейлора для функции действительной переменной: . Таким образом, показано, что функция, аналитическая в круге, разлагается в нем в сходящийся степенной ряд. Это разложение единственно и оказывается рядом Тейлора для данной функции. Коэффициенты разложения вычисляются однозначно по формулам .

Неравенства Коши.
, где

. Таким образом, справедливы неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора разложения функции в окрестности точки . По следствию из интегральной теоремы Коши для многосвязной области здесь R можно выбрать любым, лишь бы R не превышало расстояния от точки до границы области G.
Ряд Лорана.
Рядом Лорана называется ряд = + .

Второе слагаемое представляет собой степенной ряд и, как всякий степенной ряд, сходится в круге . Это слагаемое называется правильной




Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5




База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2023
обратиться к администрации

    Главная страница