Методические указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в четвертом семестре



страница5/5
Дата22.06.2019
Размер3.57 Mb.
#107358
ТипЛекция
1   2   3   4   5

Синусоидальный импульс







Свертка.
Сверткой двух функций называется интеграл = .

Свойства свертки.


  1. Коммутативность.



  1. Ассоциативность.

(доказательство громоздко, см. его в учебнике т.Х1).


  1. - оригинал, если - оригиналы.

Самостоятельно проверьте первые два требования к оригиналу. Проверим третье требование.

Пусть . Обозначим .



а)



<

б) .



.
Теорема о свертке (теорема о произведении изображений). .

Доказательство.

=

=

Пример. Найти оригинал, соответствующий изображению



.
Интеграл Дюамеля.
,

,
Эти соотношения называются интегралом Дюамеля.
Доказательство. Выражения, стоящие в одной строке равны по коммутативности свертки. Докажем первые соотношения в строках.

Но . Отсюда следует справедливость первого соотношения в первой строке.



Но . Отсюда следует справедливость второго соотношения во второй строке.



Лекция 3.
Теоремы разложения.
Сформулируем достаточные условия изображения – требования, предъявляемые к функции комплексной переменной, чтобы она была изображением некоторого оригинала.

  1. Функция - аналитическая при (константа определяет третье требование к оригиналу).

2. сходится ( ).

  1. .

При выполнении этих требований функция является изображением некоторого оригинала.
Теорема обращения. Пусть функция удовлетворяет достаточным условиям изображения. Тогда справедлива формула обращения

Интеграл, стоящий в правой части этой формулы, называется интегралом Римана Меллина, он осуществляет обратное преобразование Лапласа (переход от изображения к оригиналу).

Доказательство см.т.Х1 учебника, стр.160 – 166.
Приведем без доказательства лемму Жордана (здесь она используется в доказательстве теоремы обращения и в доказательстве общей теоремы разложения, несколько иная ее форма применена в лекции 9 по ТФКП для вычисления несобственных интегралов).

Построим контур - часть окружности радиусом R с центром в начале координат, лежащую в области , отметим на ней точки с абсциссой ( ).



Лемма Жордана. Пусть - аналитическая в полуплоскости . Пусть при , равномерно по аргументу (т.е. при , выполнено условие )

Тогда

Общая (третья) теорема разложения.

Пусть - аналитическая за исключением конечного числа особых точек . Пусть при , равномерно по аргументу . Тогда .

Доказательство. Пусть в область, ограниченную и отрезком, соединяющим точки , попало m из n особых точек. По общей теореме о вычетах

. Устремим . Внутрь рассматриваемой области войдут тогда все n особых точек. К первому слагаемому может быть применена лемма Жордана, его предел при .будет равен нулю. Ко второму слагаемому может быть применена теорема обращения. Его предел при .будет равен . Следовательно, в результате предельного перехода получим, сокращая обе части на , .

Следствие. Первая теорема разложения.

Пусть . Тогда .

Доказательство. Отыщем оригинал от изображения . По общей теореме разложения = .

По равномерной сходимости ряда Лорана допустимо его почленное интегрирование ( при вычислении вычета) и почленный переход к пределу. По общей теореме разложения



.
Следствие. Вторая теорема разложения.

Пусть имеет в качестве особых точек только полюсы кратности . Тогда
Доказательство теоремы сводится к применению общей теоремы разложения и формулы вычисления вычета в полюсе порядка.


Лекция 4.
Решение дифференциальных уравнений и систем

Методом операционного исчисления.
При решении дифференциальных уравнений и систем используется теорема о дифференцировании оригинала и ее следствие – теорема об изображении n-ой производной.

Метод решения основан на том, что преобразование Лапласа сводит дифференцирование в пространстве оригиналов к умножению на p в пространстве изображений. Поэтому дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами с пространстве оригиналов переходит в алгебраическое уравнение в пространстве изображений. При этом учитываются и начальные условия, что удобно при решении задачи Коши.

Получив решение алгебраического уравнения в пространстве изображений, мы получаем решение в виде некоторого изображения – функции от p. Остается найти соответствующий ему оригинал по свойствам преобразования Лапласа (теоремам подобия, смещения, запаздывания, дифференцирования и интегрирования) или теоремам разложения.

Пусть задано дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции и ее производных с правой частью – функцией , являющейся оригиналом



.

Требуется решить задачу Коши для этого уравнения при начальных условиях .


Применим преобразование Лапласа к обеим частям равенства.



.

Приведем коэффициенты при в левой части и перенесем члены, зависящие от начальных условий, в правую часть.



,

где - характеристический многочлен,



Найдем изображение решения

.

Здесь первое слагаемое дает вклад правой части в решение, второе слагаемое – вклад начальных условий. Если начальные условия нулевые, то и второе слагаемое пропадает.


Примеры.




,

Первые два слагаемых соответствуют , оригинал для третьего слагаемого находим по теореме об интегрировании оригинала: .



.




по теореме о дифференцировании изображения.










.

Если свертку вычислить трудно, то можно найти оригинал для последнего слагаемого по теореме разложения.



= .
Решение дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля.

  • Задано дифференциальное уравнение


с нулевыми начальными условиями.

Известно решение уравнения при . Надо, используя это решение, найти решение для произвольной правой части.


,

Следовательно, . Отсюда по формуле интеграла Дюамеля



. Для вычисления выбирается одна из этих формул.
Решение систем дифференциальных уравнений методом операционного исчисления.
Задана система дифференциальных уравнений. Надо решить задачу Коши.

.

Матричный способ решения.
Применим к обеим частям преобразование Лапласа



Теперь надо найти оригинал для вектора .


Координатный способ решения.
Если обратную матрицу считать сложно, то можно применить преобразование Лапласа к каждому из уравнений системы, получить систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений координат вектора , решить ее. Затем надо найти оригиналы координат вектора.
Примеры.


  1. Матричный способ



- три раза применена теорема об интегрировании оригинала,














Координатный способ.

,


Примеры решения типовых домашних задач.



  1. Найти изображение для оригинала .

По теореме об интегрировании изображения .

  1. Найти оригинал по изображению .

По теореме об интегрировании оригинала .

  1. Найти оригинал по изображению .

Особые точки функции - полюсы первого порядка . По общей третьей теореме разложения (или второй теореме разложения)

.

  1. Найти изображение периодического импульса с периодом 2



.





По третьей (или второй) теореме разложения



~ .

6.





,





.





,


Дополнение
-функция, преобразование Лапласа -функции и ее разложение в ряд Фурье.

t
Определим - образную последовательность функций . Заметим, что . - функцией называется .



-функция не является обычной функцией, это – обобщенная функция, .

Если функцию Хевисайда 1(t)= можно интерпретировать как единичный скачок,

то -функцию можно считать единичным импульсом (единичным в смысле площади под графиком функции). Эти понятия используются в теории автоматического управления, в кибернетике. Можно считать, что .

Справедливо «фильтрующее свойство - функции» .

Интеграл представляет собой «фильтр», который пропускает то значение функции, при котором аргумент - функции обращается в нуль. На этом свойстве, которое доказывается в теории обобщенных функций, базируются, фактически, все применения -функции.
Преобразование Лапласа -функции.
.

Как видно, обычными изображениями эти выражения не являются, так как не выполнено необходимое условие изображения.



Разложение -функции в ряд Фурье.
Разложим -функцию в ряд Фурье как функцию, заданную на отрезке .

.

.

Лекция 5.
Преобразование Фурье.

Ряд Фурье в комплексной форме.




=



Следовательно, .
Интеграл Фурье.
Теорема. Пусть 1) ограничена на R, 2) абсолютно интегрируема на R, 3)на любом конечном интервале удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда

, .
Вывод (нестрогий). Рассмотрим разложение функции в ряд Фурье на .



. Перейдем к пределу при . Так как , то .

Второе слагаемое при переходит в (предел интегральной суммы). Следовательно, в точках непрерывности



.
Косинус и синус – преобразования Фурье.
Заметим, что подынтегральная функция в интеграле Фурье четна по . Поэтому



  1. Пусть - четная функция, тогда

В точках непрерывности = .

- обратное косинус преобразование Фурье

- косинус преобразование Фурье.


  1. Пусть - нечетная функция, тогда

= .

- обратное синус преобразование Фурье

- синус преобразование Фурье.
Преобразование Фурье.
Из формулы интеграла Фурье по четности подынтегральной функции по имеем
= =
+ .

Рассмотрим второй интеграл и сделаем в нем замену .



= =

Получили первый интеграл, следовательно, второй интеграл равен первому. Поэтому



= = .

называются прямым и обратным преобразованием Фурье.

Часто множитель относят ко второму интегралу:





Связь преобразований Лапласа и Фурье.

Запишем преобразование Лапласа =



= . Таким образом, преобразование Лапласа функции есть преобразование Фурье функции . Заметим, что ограниченность функции следует из выполнения требования к оригиналу по Лапласу : . Тогда | |< .


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5




База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2023
обратиться к администрации

    Главная страница