Методические указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в четвертом семестре
Скачать 3.57 Mb.
|
- Навигация по данной странице:
- Задано дифференциальное уравнение
Синусоидальный импульсСвертка. Сверткой двух функций называется интеграл = . Свойства свертки.
(доказательство громоздко, см. его в учебнике т.Х1).
Самостоятельно проверьте первые два требования к оригиналу. Проверим третье требование. Пусть . Обозначим . а) < б) . . Теорема о свертке (теорема о произведении изображений). . Доказательство. = =
Но . Отсюда следует справедливость первого соотношения в первой строке. Но . Отсюда следует справедливость второго соотношения во второй строке. Лекция 3. Теоремы разложения. Сформулируем достаточные условия изображения – требования, предъявляемые к функции комплексной переменной, чтобы она была изображением некоторого оригинала.
2. сходится ( ).
При выполнении этих требований функция является изображением некоторого оригинала. Теорема обращения. Пусть функция удовлетворяет достаточным условиям изображения. Тогда справедлива формула обращения Интеграл, стоящий в правой части этой формулы, называется интегралом Римана – Меллина, он осуществляет обратное преобразование Лапласа (переход от изображения к оригиналу). Доказательство см.т.Х1 учебника, стр.160 – 166.
Построим контур - часть окружности радиусом R с центром в начале координат, лежащую в области , отметим на ней точки с абсциссой ( ). Лемма Жордана. Пусть - аналитическая в полуплоскости . Пусть при , равномерно по аргументу (т.е. при , выполнено условие ) Тогда Общая (третья) теорема разложения. Пусть - аналитическая за исключением конечного числа особых точек . Пусть при , равномерно по аргументу . Тогда . Доказательство. Пусть в область, ограниченную и отрезком, соединяющим точки , попало m из n особых точек. По общей теореме о вычетах . Устремим . Внутрь рассматриваемой области войдут тогда все n особых точек. К первому слагаемому может быть применена лемма Жордана, его предел при .будет равен нулю. Ко второму слагаемому может быть применена теорема обращения. Его предел при .будет равен . Следовательно, в результате предельного перехода получим, сокращая обе части на , . Следствие. Первая теорема разложения. Пусть . Тогда . Доказательство. Отыщем оригинал от изображения . По общей теореме разложения = . По равномерной сходимости ряда Лорана допустимо его почленное интегрирование ( при вычислении вычета) и почленный переход к пределу. По общей теореме разложения . Следствие. Вторая теорема разложения. Пусть имеет в качестве особых точек только полюсы кратности . Тогда Доказательство теоремы сводится к применению общей теоремы разложения и формулы вычисления вычета в полюсе порядка. Лекция 4. Решение дифференциальных уравнений и систем Методом операционного исчисления. При решении дифференциальных уравнений и систем используется теорема о дифференцировании оригинала и ее следствие – теорема об изображении n-ой производной. Метод решения основан на том, что преобразование Лапласа сводит дифференцирование в пространстве оригиналов к умножению на p в пространстве изображений. Поэтому дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами с пространстве оригиналов переходит в алгебраическое уравнение в пространстве изображений. При этом учитываются и начальные условия, что удобно при решении задачи Коши. Получив решение алгебраического уравнения в пространстве изображений, мы получаем решение в виде некоторого изображения – функции от p. Остается найти соответствующий ему оригинал по свойствам преобразования Лапласа (теоремам подобия, смещения, запаздывания, дифференцирования и интегрирования) или теоремам разложения. Пусть задано дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции и ее производных с правой частью – функцией , являющейся оригиналом . Требуется решить задачу Коши для этого уравнения при начальных условиях . Применим преобразование Лапласа к обеим частям равенства. . Приведем коэффициенты при в левой части и перенесем члены, зависящие от начальных условий, в правую часть. , где - характеристический многочлен, Найдем изображение решения . Здесь первое слагаемое дает вклад правой части в решение, второе слагаемое – вклад начальных условий. Если начальные условия нулевые, то и второе слагаемое пропадает. Примеры. , Первые два слагаемых соответствуют , оригинал для третьего слагаемого находим по теореме об интегрировании оригинала: . . по теореме о дифференцировании изображения. . Если свертку вычислить трудно, то можно найти оригинал для последнего слагаемого по теореме разложения. = . Решение дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля.
с нулевыми начальными условиями. Известно решение уравнения при . Надо, используя это решение, найти решение для произвольной правой части. , Следовательно, . Отсюда по формуле интеграла Дюамеля . Для вычисления выбирается одна из этих формул. Решение систем дифференциальных уравнений методом операционного исчисления. Задана система дифференциальных уравнений. Надо решить задачу Коши. . Матричный способ решения. Применим к обеим частям преобразование Лапласа Теперь надо найти оригинал для вектора . Координатный способ решения. Если обратную матрицу считать сложно, то можно применить преобразование Лапласа к каждому из уравнений системы, получить систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений координат вектора , решить ее. Затем надо найти оригиналы координат вектора. Примеры.
- три раза применена теорема об интегрировании оригинала, Координатный способ. , Примеры решения типовых домашних задач.
По теореме об интегрировании изображения .
По теореме об интегрировании оригинала .
Особые точки функции - полюсы первого порядка . По общей третьей теореме разложения (или второй теореме разложения) .
. По третьей (или второй) теореме разложения ~ . 6. , . ,
t
-функция не является обычной функцией, это – обобщенная функция, . Если функцию Хевисайда 1(t)= можно интерпретировать как единичный скачок, то -функцию можно считать единичным импульсом (единичным в смысле площади под графиком функции). Эти понятия используются в теории автоматического управления, в кибернетике. Можно считать, что . Справедливо «фильтрующее свойство - функции» . Интеграл представляет собой «фильтр», который пропускает то значение функции, при котором аргумент - функции обращается в нуль. На этом свойстве, которое доказывается в теории обобщенных функций, базируются, фактически, все применения -функции.
Как видно, обычными изображениями эти выражения не являются, так как не выполнено необходимое условие изображения. Разложение -функции в ряд Фурье. Разложим -функцию в ряд Фурье как функцию, заданную на отрезке . . . Лекция 5. Преобразование Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. = Следовательно, . Интеграл Фурье. Теорема. Пусть 1) ограничена на R, 2) абсолютно интегрируема на R, 3)на любом конечном интервале удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда , . Вывод (нестрогий). Рассмотрим разложение функции в ряд Фурье на . . Перейдем к пределу при . Так как , то . Второе слагаемое при переходит в (предел интегральной суммы). Следовательно, в точках непрерывности . Косинус и синус – преобразования Фурье. Заметим, что подынтегральная функция в интеграле Фурье четна по . Поэтому
В точках непрерывности = . - обратное косинус – преобразование Фурье - косинус – преобразование Фурье.
= . - обратное синус – преобразование Фурье - синус – преобразование Фурье. Преобразование Фурье. Из формулы интеграла Фурье по четности подынтегральной функции по имеем = = + . Рассмотрим второй интеграл и сделаем в нем замену . = = Получили первый интеграл, следовательно, второй интеграл равен первому. Поэтому = = . называются прямым и обратным преобразованием Фурье. Часто множитель относят ко второму интегралу: Связь преобразований Лапласа и Фурье. Запишем преобразование Лапласа = = . Таким образом, преобразование Лапласа функции есть преобразование Фурье функции . Заметим, что ограниченность функции следует из выполнения требования к оригиналу по Лапласу : . Тогда | |< . Каталог: IU2 -> sem3 -> Матан IU2 -> Лекции Принцип построения системы векторного управленич частотой вращения атд IU2 -> Для доступа к z/os использовался эмулятор терминала ibm 3270 x3270 IU2 -> Лекция №14 Электрохимические явления 2 Газовые электроды и их потенциалы Скачать 3.57 Mb. Поделитесь с Вашими друзьями:
|