Н. Г. Чернышевского На правах рукописи мохаммад ясир Халаф Мохаммад Анализ хаотических и гиперхаотических режимов колебаний по точечным процессам на основе показателей Ляпунова 01. 04. 03 радиофизика Диссертация


Глава 1 Реконструкция динамических систем по точечным процессам модели накопление-сброс



страница2/5
Дата09.08.2019
Размер5.02 Mb.
#127867
ТипДиссертация
1   2   3   4   5
Глава 1

Реконструкция динамических систем по точечным процессам модели накопление-сброс
1.1 Восстановление входного сигнала по точечному процессу модели накопление-сброс

Рассмотрим процесс преобразования моделью НС [93–95] некоторого хаотического сигнала S(t), генерируемого системой с малоразмерной динамикой. В соответствии с этой моделью, входной сигнал интегрируется, начиная с момента времени T0. В моменты времени Ti, i=1, 2, …, n, когда интеграл достигает определенное значение (пороговый уровень θ), происходит генерация стереотипного одиночного импульса (спайка), после чего интеграл обнуляется (рисунок 1.1). Соответствующая процедура описывается уравнением





(1.1)

а временные интервалы между последовательными импульсами задаются выражением



(1.2)

Анализ динамических характеристик сигнала S(t) может быть проведен по выходной последовательности межимпульсных интервалов (МИ) при условии высокой частоты генерации импульсов, то есть малых значений . В этом случае можно воспользоваться приближенным методом численного интегрирования – методом прямоугольников. Применительно к интегралу (1.1) это позволит записать следующее приближенное равенство




Рисунок 1.1 – Преобразование входного хаотического сигнала в последовательность импульсов






Рисунок 1.2 – Восстановление входного сигнала по последовательности МИ при высокой частоте генерации импульсов






(1.3)

С учетом формулы (1.1) можно определить значения сигнала S(t), восстановленные по выходной последовательности МИ:



(1.4)

Следует отметить, что точность восстановления входного сигнала (см. рисунок 1.2, пунктир) возрастает с уменьшением .

Очевидные ограничения рассматриваемого подхода проявляются при низкой частоте генерации, когда ошибка аппроксимации (1.4) возрастает. В соответствии с теоремой о среднем, можно ввести в рассмотрение моменты времени , в которые выполняется точное равенство





(1.5)

Так как проводится анализ точечных процессов, и информация о динамике между импульсами отсутствует, появляется неопределенность δ нахождения соответствующих значений



(1.6)

Эта неопределенность возрастает при больших , которые ассоциируются с большими пороговыми уровнями θ (рисунок 1.3).

Увеличение неопределенности δ приводит к росту ошибок восстановления выборочных значений . Далее будут более детально рассмотрены ограничения реконструкции динамических характеристик аттракторов на основе последовательностей МИ модели НС с ростом порогового уровня. Поскольку временные интервалы между выборочными значениями не являются постоянными, чтобы применять стандартный метод реконструкции [48], эти выборки интерполируются гладкой функцией.






Рисунок 1.3 – Восстановление входного сигнала по выходной последовательности МИ при уменьшении частоты генерации. Стрелками показаны неопределенности δ нахождения моментов времени , и эти неопределенности увеличиваются с ростом порогового значения θ.

С этой целью могут применяться, например, кубические сплайны. Проводимая интерполяция увеличивает число точек в реконструированном фазовом пространстве, позволяя снизить ошибки ориентации и обеспечить возможность проведения расчетов показателей Ляпунова с применением стандартного алгоритма их вычислений по временному ряду [75].

При использовании на практике формулы (1.4) возникает сложность в задании величины θ, которая является неизвестной при анализе точечных процессов. Однако это не препятствует решению рассматриваемой задачи. Более того, в качестве θ можно выбрать любую константу, например, θ=1. В этом случае будет получено линейное преобразование входного сигнала kS(t), и величина k=1/θ не влияет на дальнейшую реконструкцию и определение показателей Ляпунова. Для практических целей даже удобно проводить линейное преобразование, приводя сигнал к единичному интервалу [0;1], так как в этом случае все параметры алгоритма [75] можно задавать независимо от амплитуды хаотических колебаний. Это упрощает дальнейший анализ характеристик экспоненциального разбегания фазовых траекторий в реконструированном фазовом пространстве.
1.2 Метод расчета показателей Ляпунова по восстановленному входному сигналу

В проводимых исследованиях в качестве количественных характеристик сложной динамики на входе модели НС рассматривались показатели Ляпунова, для расчета которых применялся стандартный подход [75]. Несмотря на то, что известны и другие методы вычисления данных характеристик по временным рядам [76–81], предпочтение было отдано методу [75]. Это связано не только с тем, что данный метод чаще всего применяется для решения аналогичных задач, но также и с тем, что в предыдущих работах [36, 41, 44] он был детально протестирован, и его применение для анализа хаотической динамики по точечным процессам позволяло обеспечивать высокую точность расчетов. В рамках данного подхода старший показатель Ляпунова вычисляется путем оценки средней скорости экспоненциального разбегания близких в начальный момент времени траекторий. Процедура расчета предусматривает выбор «базовой» траектории и задание малого отклонения от нее (возмущения). В линейном приближении рост возмущения описывается формулой





(1.7)

которая учитывает, что локальная скорость разбегания траекторий отличается в разных областях хаотического аттрактора, и это обстоятельство учитывается за счет рассмотрения значений . В данном случае предусматривается, что в разных точках аттрактора (и для соответствующих им начальных моментов времени) величина локального показателя варьируется. Длина вектора возмущения представляет собой расстояние между базовой траекторией и некоторой ближайшей траекторией в момент времени . Искомая величина старшего показателя Ляпунова характеризует усредненную по всему аттрактору скорость экспоненциального разбегания близлежащих траекторий. Важно отметить, что зависимость (1.7) справедлива только в линейном приближении, то есть для малых . Если значения уже не удовлетворяют условию линейного приближения (экспоненциального разбегания траекторий), требуется проводить перенормировки, которые предусматривают выбор нового вектора возмущения, имеющего меньшую длину. В общем случае, можно ввести максимальное расстояние l между траекториями. Если , проводятся перенормировки. Обычно величина l принимает значение 5% – 10% от размера аттрактора (в случае однородных аттракторов). Далее будет показано, что этот параметр является очень важным при расчетах показателей Ляпунова по точечным процессам. Кроме того, перенормировки могут проводиться (и часто проводятся) через фиксированный временной промежуток, что позволяет обеспечивать высокую точность вычислений в случае однородных аттракторов. В данной диссертационной работе использовался именно такой вариант перенормировок; при этом величина указанного временного промежутка выбиралась приближенно соответствующей характерному периоду колебаний (в случае слабого хаоса он ассоциируется с базовой частотой в спектре мощности).

Метод [75] позволяет проводить расчеты двух старших показателей Ляпунова. Чтобы вычислить второй показатель, задается еще один вектор возмущения, ортогонально первому вектору, и оценивается скорость экспоненциального разбегания малого элемента площади, которая меняется во времени (в линейном приближении) по экспоненциальному закону с показателем, равным сумме двух максимальных показателей Ляпунова +. Вычислив первоначально первый показатель, таким образом можно получить оценку второго показателя. Следует отметить, что точность расчета значения меньше, так как в большей степени сказываются ошибки ориентации векторов возмущения при проведении перенормировок.


1.3 Результаты вычисления динамических характеристик хаотического режима динамики по точечным процессам модели накопление-сброс

Для анализа возможностей количественного описания динамики на основе последовательностей МИ рассмотрим систему Рёсслера [96–98] в качестве источника хаотических колебаний на входе модели НС





(1.8)

при следующих значениях управляющих параметров: которые соответствуют хаотическому режиму автоколебаний с показателем Ляпунова =0.087 (рисунок 1.4). Чтобы избежать отрицательных значений входного сигнала, осуществим линейное преобразование координаты следующим образом: . Пороговый уровень θ определяет частоту генерации импульсов моделью НС. В соответствии с теоретическими представлениями (1.3)–(1.6), с ростом θ ожидается увеличение ошибки вычисления метрических и динамических характеристик хаотического аттрактора по точечным процессам. На рисунке 1.5 показаны характерные последовательности МИ при разных θ.

При большой частоте генерации импульсов, значения показателей Ляпунова, вычисленные по последовательностям МИ модели НС, должны приближаться к величинам, вычисленным по координате методом [75] или с помощью стандартного способа расчета ляпуновских показателей по уравнениям динамической системы [73, 74]. Рисунок 1.6 подтверждает соответствие между показателями Ляпунова, вычисленными с применением трех рассмотренных подходов в широком диапазоне значений порогового уровня. До значений порогового уровня, составляющих примерно θ=60, ошибка вычисления показателей Ляпунова по точечным процессам НС-модели является сравнительно малой.



Данное значение порогового уровня ассоциируется со средним МИ (), составляющим примерно 25% базового периода хаотических колебаний (рисунок 1.7) (говоря о базовом периоде, рассматривается случай слабого или фазо-когерентного хаоса, где соответствующий период соответствует периоду предельного цикла, на базе которого возник хаотический режим в результате каскада удвоений периода).





Рисунок 1.4 – Проекция фазового портрета анализируемого хаотического аттрактора в системе Ресслера (1.8).




а

б

в

Рисунок 1.5 – Последовательности МИ модели НС хаотического режима колебаний системы Ресслера для θ=5 (а), θ=60 (б) и θ=80 (в).





Рисунок 1.6 – Расчеты двух старших показателей Ляпунова по последовательностям МИ модели НС при различных значениях порогового уровня θ. Пунктирная линия обозначает ожидаемое значение =0.087, вычисленное с помощью стандартного метода [73]. Точками обозначено значение =0.089, вычисленное по координате методом [75].





Рисунок 1.7 – Зависимость среднего значения МИ модели НС для рассматриваемого сигнала модели Ресслера (выраженного в % от характерного периода хаотических колебаний) от порогового уровня.

Если превышает соответствующую величину, то оба показателя, и , вычисляются некорректно. В соответствии с рисунком 1.6, второй показатель Ляпунова принимает положительные значения в диапазоне θ>60.

Это приводит к ошибочной идентификации анализируемого динамического режима. Аналогичные результаты были получены для других источников хаотических колебаний в режиме фазо-когерентного хаоса (некоторые примеры приводятся далее). Таким образом, условие < может рассматриваться как критерий, обозначающий границы применимости метода анализа хаотической динамики по последовательностям МИ, где – характерный период колебаний, то есть период, который ассоциируется с базовой частотой в спектре мощности. В случае развернутого хаоса это условие может быть скорректировано.

Независимо от выбора порогового уровня θ, показатели Ляпунова, вычисленные по последовательностям МИ, не демонстрируют существенных изменений при вариации стандартных параметров реконструкции, таких как задержка по времени (τ) или размерность пространства вложения (d) (рисунки 1.8 и 1.9). Из-за небольших флуктуаций значений старшего показателя Ляпунова представляется целесообразным проводить усреднение величины для разных τ и d. Это позволит снизить погрешность вычисления , вызванную случайным выбором данных параметров. В соответствии с рисунком 1.9, при больших пороговых уровнях (θ≥60) наблюдается недооценка старшего показателя Ляпунова, и варьирование параметров реконструкции не обеспечивает существенного улучшения данных результатов.

Рисунки 1.10 и 1.11 иллюстрирует зависимость значения от тех же самых параметров реконструкции. Отметим, что в области θ≥60 анализируемый хаотический режим ошибочно диагностируется как гиперхаотический.







Рисунок 1.8 – Значения старшего показателя Ляпунова, вычисленного по последовательности МИ модели НС для малых θ в зависимости от задержки τ между последовательными координатами реконструированного вектора. Кругами показаны значения, относящиеся к размерностям пространства вложения Рассматриваемый диапазон τ соответствует примерно 8%–33% характерного периода хаотических колебаний. Значения θ=5 и 20 соответствуют частотам генерации примерно 50 и 12 импульсов на характерный период колебаний. Пунктиром обозначено теоретически ожидаемое значение показателя.





Рисунок 1.9 – Значения старшего показателя Ляпунова, вычисленного по последовательности МИ модели НС для больших θ в зависимости от задержки τ между последовательными координатами реконструированного вектора. Значения θ=60 и 80 соответствуют частотам генерации примерно 4 и 3 импульса на характерный период колебаний.








Рисунок 1.10 – Значения второго показателя Ляпунова, вычисленного по последовательности МИ модели НС для малых θ в зависимости от задержки τ между последовательными координатами реконструированного вектора.








Рисунок 1.11 – Значения второго показателя Ляпунова, вычисленного по последовательности МИ модели НС для больших θ в зависимости от задержки τ между последовательными координатами реконструированного вектора.

В данном случае выбор времени задержки τ и размерности пространства вложения d не оказывает существенного влияния на полученный результат (несмотря на то, что меняется при изменении τ и d, при θ≥60 получается значение >0).

Выбор параметров алгоритма становится более важным, когда рассматривается зависимость от максимального размера вектора возмущения l, который определяет условия линейного приближения, ассоциирующегося с экспоненциальным ростом возмущений в окрестности базовой траектории. В соответствии с рисунком 1.12, значение l должно тщательно выбираться для корректной оценки .

Рассмотрим особенности зависимостей, изображенных на рисунке 1.12, начиная со случая θ=5 (отмечена звездочками). Для данного порогового уровня частота генерации является высокой (около 50 импульсов на характерный период хаотических колебаний), поэтому неопределенность δ очень мала, и в данном случае ей можно пренебречь, проводя восстановление входного сигнала по точечному процессу.

Существуют две основные причины, ограничивающие значение в области малых и больших l, соответственно. Для малых l, недооценка значений старшего показателя Ляпунова связана с ошибками ориентации, возникающими при перенормировках векторов возмущений в реконструированном фазовом пространстве [75]. Чем меньше l, тем чаще проводятся перенормировки, и соответствующая ошибка может накапливаться в ходе усреднения скорости экспоненциального разбегания траекторий.

Для больших l, значение ограничено условием линейного приближения. Если расстояние между базовой траекторией и соседней траекторией увеличивается примерно до 10% от размера аттрактора, их разбегание перестает быть экспоненциальным.




Рисунок 1.12 – Расчеты старшего показателя Ляпунова по последовательности МИ модели НС в зависимости от максимального размера вектора возмущения. Пунктирная линия обозначает теоретически ожидаемое значение показателя.

Это приводит к недооценке значений , так как длина вектора до перенормировки обычно меньше чем ожидаемое значение. Такие ограничения можно приближенно описать зависимостью





(1.9)

где – время между перенормировками, A и B – некоторые постоянные величины, AB. Зависимость (1.9) проиллюстрирована на вставке 2 на рисунке 1.12. Соответствующее ограничение всегда возникает при расчете показателей Ляпунова по временному ряду с применением метода [75]. Наличие двух отмеченных ограничений приводит к снижению , и полученная величина может оказаться существенно меньше ожидаемого значения показателя Ляпунова.

Если последовательности МИ модели НС рассматриваются при больших значениях порогового уровня θ, появляется дополнительный фактор, ограничивающий значение в диапазоне малых l. В этой области размер вектора возмущения становится сопоставимым с величиной δ, характеризующей неопределенность идентификации моментов времени, которые ассоциируются с выборочными значениями сигнала S(t) (рисунок 1.3). В первом приближении, при рассмотрении одинаковой неопределенности для перенормированного вектора и вектора возмущения до перенормировки, значение можно приближенно вычислить следующим образом





(1.10)

Эта зависимость ограничивает величину , и результирующий показатель Ляпунова уменьшается при больших δ, соответствующих большим пороговым уровням θ, что проиллюстрировано на вставке 1 рисунка 1.12. На данной вставке изображена зависимость множителя, ограничивающего для разных l и двух значений δ.

Чтобы количественно охарактеризовать функцию (l) (рисунок 1.12), предлагается оценить ее ширину В данном случае ширина оценивалась как расстояние между двумя значениями l, относящимися к уровню 80% от максимума (l), то есть значениями ≈0.07. Отметим, что ширина зависимости (l) уменьшается с ростом порогового уровня (рисунок 1.13), обеспечивая возможность количественного описания влияния неопределенностей δ на недооценку показателей Ляпунова. Таким образом, вычисление зависимостей (l) позволяет проводить более точную оценку ляпуновских показателей (путем определения максимальных значений) и характеризовать эффекты низкой частоты генерации по уменьшению ширины .

В целях исключения из рассмотрения возможных ограничений, связанных с малой выборкой, расчеты показателей Ляпунова на предыдущих рисунках проводились по последовательностям, содержащим 10 000 МИ. Проводя более детальные численные исследования, было обнаружено, что для корректного определения показателей Ляпунова и диагностики режима динамики по точечному процессу достаточно ограничиться существенно меньшей выборкой. На рисунке 1.14 представлены зависимости двух старших показателей Ляпунова и от длительности n последовательности МИ модели НС.

Оба показателя Ляпунова при больших n близки к ожидаемым значениям, отмеченным пунктирными линиями. Хорошая точность определения (с ошибкой менее 10%) достигается для n>1500 МИ, что соответствует примерно 125 характерным периодам хаотических колебаний ().






Рисунок 1.13 – Ширина зависимости для разных пороговых уровней. Величина определяется по уровню 80% от максимума






Рисунок 1.14 – Расчеты двух старших показателей Ляпунова по последовательности МИ модели НС в зависимости от длительности последовательности n для θ=20.

Если расчеты показателей Ляпунова проводятся в целях диагностики переходов «хаос-гиперхаос» и выявления различий хаотических и гиперхаотических режимов автоколебаний, то объем выборки целесообразно увеличить примерно до 4500 МИ.

Рассмотрим другие примеры систем, демонстрирующих хаотические режимы автоколебаний, в качестве источников входных сигналов для модели НС, что позволит проверить достоверность основных результатов и выводов данной работы. В качестве одной из них была выбрана классическая модель Лоренца [99]




(1.11)

при значении управляющих параметров , , . На рисунке 1.15 приведены проекция фазового портрета и фрагмент временной реализации одной из переменных состояния рассматриваемого режима динамики.

В ходе проведенных исследований в качестве входного сигнала НС-модели была выбрана координата x(t) системы Лоренца (1.11) после ее линейного преобразования . Выбирались несколько значений порогового уровня θ. На рисунках 1.16 и 1.17 приведены результаты расчетов старшего показателя Ляпунова в зависимости от временной задержки для разных значений размерности пространства вложения (). Когда выполняется условие < (см. рисунок 1.16, приведенный для случая θ=5, что соответствует примерно 11 импульсам на характерный период), оценка старшего показателя Ляпунова может быть осуществлена с хорошей точностью.




(а)

(б)



Рисунок 1.15 – Проекция фазового портрета (а) и фрагмент временной реализации переменной y(t) хаотического режима динамики системы Лоренца.




Рисунок 1.16 – Значения старшего показателя Ляпунова, вычисленного по последовательности МИ модели НС для θ=5 в зависимости от задержки τ между последовательными координатами реконструированного вектора. Кругами показаны значения, относящиеся к размерностям пространства вложения Пунктиром обозначено теоретически ожидаемое

значение показателя [73]. Расчеты проводились по 2000 МИ.








Рисунок 1.17 – Значения старшего показателя Ляпунова, вычисленного по последовательности МИ модели НС для θ=15 в зависимости от задержки τ между последовательными координатами реконструированного вектора.

В отличие от модели Ресслера, при аналогичном объеме выборки наблюдается несколько более заметный разброс вычисляемых величин относительно ожидаемого значения (λ1=0.845), но в результате усреднения результатов вычислений, проведенных для разных алгоритмических параметров, получается величина λ1, приближенная к ожидаемой.

Если условие < не выполняется (см. рисунок 1.17, приведенный для случая θ=15, что соответствует примерно 3 импульсам на характерный период), то происходит недооценка значения старшего показателя, которая не может быть устранена за счет варьирования основных параметров алгоритма вычислений.

Аналогичные исследования были выполнены для модифицированного генератора с инерционной нелинейностью [100–103], математическая модель которого задается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:




(1.12)

Значения управляющих параметров были выбраны следующими , , что соответствует режиму хаотических автоколебаний, характеризующемуся значением старшего показателя Ляпунова λ1=0.264. В качестве входного сигнала НС-модели рассматривалась смещенная координата x(t) этой модели: . Проекция фазового портрета хаотического аттрактора генератора с инерционной нелинейностью изображена на рисунке 1.18а, а на рисунке 1.18б приведен небольшой фрагмент временной реализации динамической переменной x(t).


(а)

(б)



Рисунок 1.18 – Проекция фазового портрета (а) и фрагмент временной реализации переменной x(t) хаотического режима динамики генератора с инерционной нелинейностью.





Рисунок 1.19 – Значения старшего показателя Ляпунова режима динамики генератора с инерционной нелинейностью, вычисленного по последовательности МИ модели НС для θ=15 в зависимости от задержки τ между последовательными координатами реконструированного вектора. Кругами показаны значения, относящиеся к размерностям пространства вложения Пунктиром обозначено теоретически ожидаемое

значение показателя. Расчеты проводились по 2000 МИ.






Рисунок 1.20 – Значения старшего показателя Ляпунова режима динамики генератора с инерционной нелинейностью, вычисленного по последовательности МИ модели НС для θ=50 в зависимости от задержки τ между последовательными координатами реконструированного вектора.

Полученные результаты подтверждают ранее сделанные выводы. Как и для других рассмотренных систем, выполнение условия < позволяет провести расчеты старшего показателя Ляпунова по точечному процессу с хорошей точностью, и, осуществив усреднение результатов при варьировании алгоритмических параметров, можно убедиться в том, что рассматриваемый подход позволяет характеризовать режим хаотических автоколебаний (рисунок 1.19).

Отметим, что режим динамики, изображенный на рисунке 1.18, существенно отличается, например, от хаотических колебаний, представленных на рисунке 1.15. Теперь мы имеем дело не с фазо-когерентным режимом, фазовый портрет которого напоминает «размазанный» предельный цикл, а с более развитым хаотическим процессом. Это накладывает определенный отпечаток на последующую процедуру определения границ применимости метода. В частности, для развитого хаоса может отсутствовать характерный временной масштаб в спектре мощности (базовая частота хаотических колебаний), и в этом случае нужно скорректировать условие, задающее ограничения метода. В данном случае в качестве целесообразно рассматривать среднее время между локальными максимумами сигнала x(t) (см. рисунок 1.18б). Проведенные исследования для разных режимов хаотических автоколебаний продемонстрировали, что выбор такого способа задания ограничений метода является достаточно эффективным. В некоторой окрестности значения /4 точность может снижаться (и достаточно сложно определить границу применимости подхода для режимов развитого хаоса), но при движении от данного значения в сторону его увеличения расчеты перестают быть достоверными, а если задать < (например, ≤0.95*), то хорошая точность определения λ1 достигается и в случае развитого хаоса. Характерный пример корректного расчета старшего показателя Ляпунова по последовательности МИ для генератора с инерционной нелинейностью приведен на рисунке 1.19 (θ=15, что соответствует около 12 импульсам на средний период). Случай недостоверных оценок λ1 представлен на рисунке 1.20 (θ=50, что соответствует примерно 3 импульсам на средний период).


1.4 Пример применения метода расчета показателей Ляпунова по точечным процессам для анализа экспериментальных данных

В качестве примера применения обсуждаемого подхода рассмотрим задачу об анализе экспериментальных данных. Однако при этом нужно заранее обратить внимание на несколько особенностей. Прежде всего, должна проводиться аккуратная интерпретация полученных результатов. В частности, для систем, функционирующих в условиях различных внешних воздействий, флуктуаций и т.д., мы не можем быть уверенными в экспоненциальном разбегании траекторий в реконструированном фазовом пространстве (из-за шума, нестационарности и т.п.). По этой причине значения и лучше интерпретировать как количественные меры, характеризующие сложность (неустойчивость) анализируемого режима. Кроме того, пороговое значение является неизвестной величиной при анализе точечных процессов. Однако последнее обстоятельство не является критичным для оценки показателей Ляпунова по последовательностям МИ, и значения , могут быть вычислены, если частота генерации является достаточно высокой.

Выберем в качестве экспериментального сигнала запись электрокардиограммы (ЭКГ) и проведем расчеты , как по исходной ЭКГ (рисунок 1.21), так и по последовательности интервалов времени между сердечными сокращениями, то есть по набору RR-интервалов [104, 105].




Рисунок 1.21 – Пример анализируемого сигнала ЭКГ (небольшой фрагмент). Значения x представлены в произвольных единицах изменения.

С этой целью были записаны ЭКГ пяти молодых (20-22 года) здоровых людей в нормальных условиях. В случае полных записей ЭКГ были получены следующие значения (среднее ± стандартная ошибка среднего): =0.49±0.12, =0.28±0.09.

Применение рассматриваемого подхода для последовательностей из 1000 RR-интервалов, представляющих пример выходного точечного процесса, позволило получить близкие значения: =0.46±0.14, =0.23±0.12. Таким образом, рассмотрение точечных процессов приводит к близким по величине количественным мерам сложности, как и при анализе полных записей ЭКГ. Эти величины могут использоваться для количественного описания состояния организма в различных физиологических условиях.
1.5 Заключение по 1-й главе

В данной главе рассмотрены возможности и ограничения метода анализа динамических характеристик хаотических автоколебаний на входе модели НС по выходной последовательности МИ. Несмотря на то, что эта проблема может быть легко решена при высокой частоте генерации импульсов, ее решение существенно усложняется, если данная частота снижается. В результате диагностируемый хаотический режим на входе модели НС может быть ошибочно охарактеризован как гиперхаотический, если средний МИ превышает значение , где – средний период колебаний в режиме фазо-когерентного хаоса.

Были охарактеризованы особенности зависимости от максимального расстояния между траекториями в реконструированном фазовом пространстве (l), которое ассоциируется с границей линейного приближения. При этом было показано, что ширина данной зависимости уменьшается с ростом θ. С одной стороны, данная зависимость обеспечивает возможность выбора оптимального параметра l, приводящего к более точным оценкам показателей Ляпунова. Таким образом, принимая во внимание ограничения, возникающие для малых и больших l, наилучший выбор этого параметра ассоциируется с максимумом зависимости (l). С другой стороны, уменьшение ширины зависимости (l) характеризует эффекты неопределенностей, возникающие при низкой частоте генерации. Малые значения могут служить индикатором недооценки показателей Ляпунова при их вычислении на основе стандартного метода [75].

В отличие от случая, когда уравнения, описывающие анализируемый динамический режим, являются неизвестными, расчеты показателей Ляпунова по временным рядам с применением техники реконструкции сопровождаются ошибками ориентации при проведении перенормировок векторов возмущений в реконструированном фазовом пространстве. Эти ошибки имеют тенденцию к существенному накоплению для каждого последующего показателя Ляпунова. По этой причине в данной диссертационной работе проводится ограничение случаем только двух старших показателей Ляпунова, которые могут быть вычислены с приемлемой точностью.

На основе полученных результатов можно сделать вывод о том, что для корректной диагностики режима динамики на входе порогового устройства, которое описывается моделью НС, можно ограничиться сигналом сравнительно небольшой длительности. В частности, если требуется вычислить только старший показатель Ляпунова по точечному процессу модели НС, то соответствующие расчеты могут быть проведены с ошибкой не более 10% по входному сигналу, содержащему 120-150 характерных периодов колебаний. Если требуется осуществить достоверную идентификацию хаотических и гиперхаотических режимов по последовательности МИ модели НС, то длительность входного сигнала должны быть увеличена до 350-400 характерных периодов. Этот подход может быть использован в качестве альтернативы другим методам количественного описания переходов хаос-гиперхаос. Он также может применяться к экспериментальным данным, чтобы охарактеризовать состояние системы в различных условиях.

Сделанные выводы были подтверждены на разных моделях динамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение: системах Ресслера, Лоренца, генераторе с инерционной нелинейностью. При этом было показано, что диагностика режима хаотической динамики по точечному процессу может быть проведена как в случае слабого (фазо-когерентного хаоса), так и в случае развитого хаоса, когда в качестве характерного временного масштаба целесообразно выбирать средний временной интервал между локальными максимумами хаотического колебательного процесса.




Каталог: sites -> default -> files -> dissertation -> 2016
files -> Дипломатии в целях реализации сценария «Военно-силового противоборства западной лчц»
2016 -> Н. Г. Чернышевского На правах рукописи ясин алаулдин Салах Ясин фильтрация зашумленных сигналов и изображений с применением вейвлет-преобразованиЯ 01. 04. 03 радиофизика Диссертация
dissertation -> Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью теоретического осмысления внесенного в отечественно
dissertation -> B. B. Gorbatenko, V. P. Ryabukho / The peculiarities of statistical distribution of the phase difference in the speckle-field: the numerical simulation // Progress in Biomedical Optics and Imaging. 2013
dissertation -> Научные публикации
dissertation -> Прохоров Михаил Дмитриевич


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5




База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница