Н. Г. Чернышевского На правах рукописи мохаммад ясир Халаф Мохаммад Анализ хаотических и гиперхаотических режимов колебаний по точечным процессам на основе показателей Ляпунова 01. 04. 03 радиофизика Диссертация


Глава 2 Диагностика переходов «хаос – гиперхаос» по последовательностям времен возврата в секущую Пуанкаре



страница3/5
Дата09.08.2019
Размер5.02 Mb.
#127867
ТипДиссертация
1   2   3   4   5
Глава 2

Диагностика переходов «хаос – гиперхаос» по последовательностям времен возврата в секущую Пуанкаре
2.1 Предварительные замечания

Переходы между хаотическими и гиперхаотическими режимами автоколебаний в сложных нелинейных системах сравнительно легко можно идентифицировать, если математическая модель рассматриваемой системы известна. В частности, для систем, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, на основе стандартных методов вычисления показателей Ляпунова [73, 74] можно определить значения управляющих параметров, которые ассоциируются с появлением двух и более положительных ляпуновских показателей. Спектр ляпуновских характеристических показателей (,, …, ) обеспечивает четкое количественное описание возрастающей сложности, ассоциирующейся с гиперхаотическим состоянием по сравнению с хаотическими колебаниями, которые описываются единственным положительным показателем Ляпунова. Более высокая сложность данного состояния вызвана бифуркациями неустойчивых периодических циклов, вложенных в хаотический аттрактор [106]. Однако, охарактеризовать эту возрастающую сложность более проблематично, если неизвестны динамические уравнения, как это часто бывает при рассмотрении систем в физиологии, геофизике и т.д.

В последние годы был предложен эффективный метод определения переходов «хаос – гиперхаос» на основе возвратных отображений (“reccurence plots”, RP) [90, 91, 107], который может применяться даже для относительно небольших объемов выборки, и были продемонстрированы его приложения для модельных и экспериментальных систем [91]. Метод позволяет выявлять различия между рассматриваемыми динамическими режимами на основе нескольких мер, введенных для RP. Однако, несмотря на то, что возможность диагностировать гиперхаос по временным рядам была продемонстрирована во многих исследованиях, по-прежнему остается открытым вопрос о том, каково минимальное количество информации, необходимое для корректной идентификации сложных динамических режимов с двумя или более положительными показателями Ляпунова.

В отличие от метода [90, 91], в данной диссертационной работе рассматривается идея восстановления усредненной мгновенной частоты сложных колебаний для определения двух положительных показателей Ляпунова с использованием ограниченной информации о сложных динамических режимах. Обсуждается проблема анализа гиперхаотической динамики в сложных нелинейных системах на основе времен возврата в секущую Пуанкаре [108–111], которая имеет отношение к более общей проблеме количественного описания динамики систем по точечным процессам и, в частности, реконструкции динамических систем. В течение последних десятилетий эта проблема обсуждалась для нескольких типов простых нейронных моделей, включая модели ПП и НС [29–36]. Модель ПП описывает генерацию импульсов, когда входной сигнал пересекает некоторое пороговое значение Θ в одном направлении, например, снизу вверх. Существует аналогия между МИ модели ПП и временами возврата в секущую Пуанкаре, заданную равенством где – динамическая переменная.

Возможный вариант вычисления динамических характеристик по временам возврата был предложен в [36], и было показано, что усредненная мгновенная частота сложных колебаний, восстановленная по последовательности времен возврата, позволяет вычислить старший показатель Ляпунова даже в том случае, когда пересечения плоскости не происходят в течение некоторых вращений фазовой траектории [41]. Необходимым условием является то, что среднее время возврата не должно превышать время предсказуемости анализируемого динамического режима [41]. Однако метод [36] может приводить к ошибочной идентификации динамического режима, вызванной присутствием артефактов. По этой причине в диссертации рассматривается обобщенный метод, позволяющий проводить корректное определение хаотических и гиперхаотических режимов колебаний. Далее будет показано, что этот обобщенный метод позволяет диагностировать переходы «хаос – гиперхаос» по одной последовательности времен возврата в секущую Пуанкаре, если последняя выбрана подходящим образом. Будет также продемонстрировано, что вычисленные показатели Ляпунова близки к значениям, полученным с использованием математической модели рассматриваемой системы, если анализируемый динамический режим характеризуется существенно различными значениями и . Если , диагностика переходов «хаос – гиперхаос» по-прежнему будет осуществляться, несмотря на недооценку второго показателя Ляпунова.
2.2 Вычисление показателей Ляпунова по временам возврата

Основная идея метода [36] состоит в следующем. Рассмотрим систему, демонстрирующую хаотические колебания, и выберем в качестве динамической переменной координату . Зададим секущую Пуанкаре в виде . Если – времена пересечения данной секущей плоскости в одном направлении, и – времена возврата, =, то можно вычислить значения





(2.1)

которые соответствуют выборкам мгновенной частоты хаотических колебаний, вычисленной на основе преобразования Гильберта и усредненной за время возврата . Значения можно интерпретировать как результат усреднения мгновенной частоты в пределах временного окна с меняющимся размером [112]. Эти выборки известны только в дискретные моменты времени . Чтобы анализировать динамические характеристики рассматриваемого режима, необходимо ввести постоянный шаг по времени между соответствующими точками. Это может быть выполнено путем интерполяции значений гладкой функцией, например, кубическим сплайном. Несмотря на то, что при этом не удается точно воспроизвести временную зависимость мгновенной частоты, полученный временной ряд позволяет провести приближенную реконструкцию хаотического аттрактора с использованием стандартного метода задержки [48] и, следовательно, охарактеризовать динамические и метрические свойства восстановленного аттрактора. Высокое качество определения показателей Ляпунова с применением данного подхода (с ошибкой порядка 10%) было продемонстрировано в работах [41, 44] с использованием различных базовых моделей систем с хаотической динамикой.

Для вычисления показателей Ляпунова по интерполированному временному ряду будем использовать метод расчета, предложенный в работе [75]. Несмотря на то, что подход [75] позволяет проводить расчеты двух показателей Ляпунова, до сих пор не изучалась возможность его применения для анализа гиперхаотических режимов колебаний по одной последовательности времен возврата. Однако прежде важно выяснить возможности и ограничения данного подхода для более простого случая – хаотической динамики автоколебательных систем. С этой целью была выбрана модель Ресслера (1.8) при тех же значениях управляющих параметров, как и в 1-й главе диссертации. Пороговое значение варьировалось в широком диапазоне, включая случай, когда при каждом обороте фазовой траектории происходит пересечение секущей плоскости (<5.3) и случай, когда в течение некоторых вращений фазовой траектории пересечения секущей не происходит (>5.3), при этом в зависимости от порогового уровня будет пропущено разное количество осцилляций (рисунок 2.1). С точки зрения терминологии сечения Пуанкаре первый вариант можно интерпретировать как корректный вариант задания секущей плоскости, а второй – как некорректный. При анализе пороговых устройств с заданным уровнем данная терминология несколько модифицируется, так как определяющую роль начинает играть амплитуда входного сигнала – малая амплитуда означает, что часть информации теряется, а большая амплитуда позволяет сохранять максимально полные сведения о динамике, которые может предоставить точечный процесс.

На рисунке 2.2 показана зависимость старшего показателя Ляпунова от введенного порогового уровня ПП модели. Существенные отклонения от теоретически ожидаемой величины λ1 (изображенной пунктиром) наблюдаются только при Θ>12.5, когда превышается время предсказуемости динамического режима, которое можно приближенно оценить как значение, обратное величине старшего показателя Ляпунова. Этот вывод хорошо согласуется с результатами ранее проводившихся исследований [41], в ходе которых было установлено, что даже если часть фазовых траекторий пропущена, последовательность МИ модели ПП позволяет вычислить значение λ1 с погрешностью, как правило, не превышающей 10%–12%. Аналогичный вывод сделан с использованием разных базовых моделей систем с хаотическим поведением, включая системы Лоренца, генератор с инерционной нелинейностью, а также модели биологических осцилляторов [41]. Были отмечены одинаковые закономерности, что свидетельствует об их универсальности и позволяет проводить более детальные исследования на одной системе, используя другие для верификации результатов и выводов.


а

б

Рисунок 2.1 – Примеры последовательностей МИ модели ПП для хаотического режима колебаний системы Ресслера при =0 (а) и =5.4 (б).






Рисунок 2.2 – Зависимость старшего показателя Ляпунова от порогового уровня модели ПП для хаотического режима динамики модели Ресслера.





Рисунок 2.3 – Зависимость второго показателя Ляпунова от порогового уровня модели ПП для хаотического режима динамики модели Ресслера.

В ранее проводившихся исследованиях не тестировалась возможность проведения оценок второго показателя Ляпунова в зависимости от задания порогового уровня, несмотря на то, что второй показатель является более чувствительным к заданию параметров алгоритма. Это связано с тем, что он принимает меньшие значения (в случае гиперхаотической динамики автоколебательных систем) или равен нулю (для режима динамического хаоса). Данное обстоятельство приводит к тому, что различные ошибки оценки скорости разбегания траекторий будут оказывать более сильное влияние на λ2, и проблема задания оптимальных параметров алгоритма является, несомненно, более актуальной. В частности, пропуски части фазовых траекторий будут сильно влиять на ориентацию векторов возмущений в фазовом пространстве, приводя к появлению проекций в направлении максимального показателя Ляпунова. Вследствие этого вместо нулевого значения может быть получено положительное значение λ2, и анализируемый режим динамики будет ошибочно диагностирован как гиперхаотический. Наличие пропусков части фазовых траекторий будет приводить к появлению сильно отличающихся по величине текущих значений МИ, которые могут интерпретироваться как артефакты. В их присутствии расчеты становятся недостоверными. Так, на рисунке 2.3 показана зависимость второго показателя Ляпунова от порогового уровня. Пока Θ<5.3, точность можно считать приемлемой (минимальная ошибка достигается для Θ≈0). Но если начинаются пропуски фазовых траекторий (Θ>5.3), ошибка резко возрастает.

Чтобы количественно охарактеризовать динамические свойства гиперхаотических режимов динамики по последовательностям времен возврата в секущую Пуанкаре, рассмотрим следующую модель двух связанных систем Рёсслера [113, 114]









(2.2)

В модели (2.2) параметры , и характеризуют режим динамики каждой подсистемы, а параметр – коэффициент связи. Базовые частоты и имеют малую расстройку , которая обеспечивает различия динамики подсистем. В проводимых исследованиях был выбран следующий набор параметров: =0.15, =0.2, =0.02, =1.0, Δ=0.0093. Параметр менялся в диапазоне [6.8, 8.0], включая области как хаотической, так и гиперхаотической динамики.

Основной вывод ранее проводившихся исследований [44], направленных на диагностику переходов «хаос – гиперхаос», состоял в том, что одной последовательности времен возврата в секущую Пуанкаре недостаточно для корректной оценки двух старших показателей Ляпунова, вследствие чего гиперхаотический режим будет ошибочно диагностирован как хаотический. Рассмотрим в качестве примера секущую плоскость и проанализируем изменения двух старших показателей Ляпунова от управляющего параметра . Переход к гиперхаосу проиллюстрирован на рисунке 2.4.

Старший показатель Ляпунова λ1 принимает положительные значения во всем рассмотренном диапазоне с, подтверждая наличие экспоненциальной неустойчивости траекторий, ассоциирующейся с хаотическими колебаниями. Второй показатель Ляпунова λ2 принимает положительные значения при , характеризуя возникновение более сложного режима динамики.




Рисунок 2.4 – Зависимости двух старших показателей Ляпунова от управляющего параметра модели двух связанных систем Рёсслера. Кругами обозначены результаты расчета по уравнениям модели, квадратами – по последовательности времен возврата в секущую плоскость .

Данный вывод можно сделать, если анализировать «истинные» значения показателей Ляпунова, вычисленные по известным уравнениям динамической системы (2.2) с помощью стандартного метода Бенеттина [73] (круги на рисунке 2.4). Если же расчеты проводить по временам возврата в секущую плоскость (рисунок 2.4, квадраты), то окажется, что только показатель λ1 оценивается правильно, а вместо ожидаемых положительных значений λ2 в области будет получено нулевое значение. Еще более сложной является ситуация, изображенная на рисунке 2.5, когда секущая плоскость задается в виде . В этом примере в качестве максимального показателя Ляпунова оценивается величина, приближенная к λ2, а не к λ1, а в диапазоне параметра вычисляется положительное значение показателя.

Таким образом, проведенные расчеты подтверждают основной вывод работы [44] о том, что рассмотрение одной последовательности времен возврата в секущую плоскость (на примере плоскостей  или ) недостаточно для корректной оценки двух старших показателей Ляпунова и, следовательно, для диагностики переходов между хаотическими и гиперхаотическими режимами динамики.

Вместо того, чтобы проводить анализ последовательностей времен возврата в секущие плоскости с дальнейшим применением метода [75], может быть проведена реконструкция аттрактора методом задержки с использованием двух сигналов. В этом случае реконструированный аттрактор будет содержать половину координат, введенных на основе метода задержки для одной подсистемы (то есть по временной зависимости усредненной мгновенной частоты, восстановленной по временам возврата в секущую плоскость ), а вторая половина координат восстанавливается по временной зависимости усредненной мгновенной частоты, полученной по временам возврата в секущую плоскость .







Рисунок 2.5 – Зависимости двух старших показателей Ляпунова от управляющего параметра модели двух связанных систем Рёсслера. Кругами обозначены результаты расчета по уравнениям модели, квадратами – по последовательности времен возврата в секущую плоскость .

Таким образом, реконструкция аттрактора и определение двух старших показателей Ляпунова проводится один раз. Данная модификация рассмотренного подхода уменьшает время вычислений, но при этом не происходит уменьшения используемой информации о динамике модели (2.2). По-прежнему необходимо знать две последовательности времен возврата в две разные секущие плоскости. В отличие от результатов, приведенных на рисунках 2.4 и 2.5 (обозначенных кругами), данный подход допускает более четкую и корректную интерпретацию полученных результатов (рисунок 2.6). Теперь метод [75] обеспечивает возможность определения двух положительных показателей Ляпунова, и оба показателя сравнительно близки к ожидаемым значениям. В этом случае диагностика перехода «хаос – гиперхаос» проводится правильно, что подтверждает преимущества реконструкции на основе двух переменных. В данной диссертационной работе анализ проводился по сравнительно коротким последовательностям времен возврата (примерно 2000 значений), чтобы проиллюстрировать возможности метода, когда дополнительная сложность анализа связана со сравнительно небольшим объемом выборки.

Возникает вопрос – действительно ли наличие двух последовательностей времен возврата является необходимым условием для оценки двух показателей Ляпунова, или с этой целью можно использовать одну последовательность времен возврата при условии подходящего задания секущей плоскости.

Чтобы охарактеризовать гиперхаотическую динамику на основе одной последовательности времен возврата, необходимо ввести секущую плоскость таким образом, чтобы она в большей степени учитывала динамику обеих подсистем. На рисунке 2.7 приведены результаты для секущей плоскости, заданной уравнением (аналогичные результаты достигаются для плоскости ).






Рисунок 2.6 – Зависимости двух старших показателей Ляпунова от управляющего параметра модели двух связанных систем Рёсслера. Кругами обозначены результаты расчета по уравнениям модели, ромбами – по двум последовательностям времен возврата (в секущие плоскости и ).






Рисунок 2.7 – Зависимости двух старших показателей Ляпунова от управляющего параметра модели двух связанных систем Рёсслера. Кругами обозначены результаты расчета по уравнениям модели, треугольниками – по последовательности времен возврата в секущую плоскость .

В этом случае используется одна последовательность времен возврата, которой достаточно для корректного определения двух положительных показателей Ляпунова, характеризующих гиперхаотический режим. Получение такой последовательности временных интервалов можно интерпретировать как прохождение суммарным сигналом порогового устройства с величиной порога, равной нулю. В последнем случае регистрируются моменты времени перехода суммарного сигнала через ноль, и по полученной последовательности решается задача определения динамических характеристик сложного режима динамики на входе порогового устройства. Рассмотрение предыдущих вариантов секущей плоскости можно интерпретировать как прохождение через ноль сигнала, например, , при условии, что , , то есть мы учитываем динамику лишь одной подсистемы (вторая подсистема, тем не менее, оказывает влияние, которое определяется коэффициентом связи, но это влияние существенно слабее, чем при задании секущей в виде ).

Рисунок 2.7 наглядно иллюстрирует, что по одной последовательности времен возврата в секущую плоскость оба показателя Ляпунова надежно диагностируются как для случая хаотической, так и для случая гиперхаотической динамики. На рисунке 2.7 приведен пример применения метода расчета показателей Ляпунова по последовательности времен возврата, когда оба показателя существенно отличаются друг от друга. Если второй показатель приближается к первому (рисунок 2.8), то возрастают ошибки, связанные с ориентацией векторов в реконструированном фазовом пространстве при проведении процедуры перенормировок векторов. Соответствующие ошибки имеют тенденцию к накоплению для второго показателя Ляпунова, если направления разбеганий траекторий, характеризующиеся величинами λ1 и λ2, становятся достаточно близкими.




Рисунок 2.8 – Зависимости двух старших показателей Ляпунова от управляющего параметра модели двух связанных систем Рёсслера для случая, когда показатели принимают близкие значения. Кругами обозначены результаты расчета по уравнениям модели, треугольниками – по последовательности времен возврата в секущую плоскость .

Данная проблема хорошо известна в литературе [75]: если положительные показатели становятся близкими, то ошибка их вычисления растет, и провести оценку второго показателя Ляпунова можно гораздо точнее, когда рассматриваются показатели с сильно различающимися значениями. Однако, несмотря на то, что с ростом λ2 может произойти недооценка второго показателя Ляпунова (рисунок 2.8), переход к гиперхаотической динамике правильно диагностируется, и рассматриваемый подход позволяет разделить хаотические и гиперхаотические колебания по одной последовательности времен возврата.



Чтобы избежать ложной идентификации динамических режимов, в данной диссертационной работе предложена модернизация метода [75], включающая следующие основные моменты:

  1. Выходная последовательность должна быть проверена на наличие артефактов, включая генерацию дополнительных импульсов (когда суммирование двух динамических переменных приводит к появлению пары импульсов вместо одного) или пропуски части импульсов при больших пороговых уровнях Θ. Такие артефакты часто усложняют анализ нейронных систем [115, 116]. Если возникают пропуски импульсов, выходная последовательность содержит временные интервалы, близкие к значениям , где – характерный период колебаний, то есть период, соответствующий базовой частоте в спектре мощности (в режиме фазо-когерентной динамики). В этом случае выборки усредненной мгновенной частоты должны определяться по формуле , где выбирается из условия медленных изменений . Это позволяет избежать некорректных выборок , вызванных неправильным заданием секущей плоскости. Генерация дополнительных импульсов, когда появляются близко расположенные импульсы, сумма интервалов между которыми близка к значению , также приводит к некорректным выборкам . Без устранения данных артефактов возникают существенные проблемы вычисления показателей Ляпунова, вызванные неоднородностью аттрактора, реконструированного по временам возврата. В результате вычисляемые значения могут существенно отличаться от ожидаемых значений. В частности, при наличии артефактов обычно возникают сложности правильной оценки второго показателя Ляпунова, и хаотический режим ошибочно диагностируется как гиперхаотический.

  2. При анализе последовательностей времен возврата с широким распределением значений целесообразно проводить дополнительные оценки показателей Ляпунова в зависимости от способа интерполяции (сплайны, полиномы и т.п.). Если различие значений λ1, вычисленных для двух гладких функций (с применением разных методов интерполяции) превышает 10%, это служит индикатором высокой вариабельности полученных результатов. Данная проверка особенно важна при анализе режимов развитого хаоса. При высокой вариабельности результатов расчеты показателей Ляпунова необходимо проводить в зависимости от основных параметров реконструкции, чтобы получить достоверные характеристики исследуемого динамического режима и, в частности, переходов «хаос – гиперхаос».

Отметим также, что расчеты показателей Ляпунова по временным рядам с использованием метода реконструкции сопровождаются ошибками ориентации, которые имеют тенденцию накапливаться для каждого последующего показателя. По этой причине в данной главе мы ограничиваемся только случаем расчета двух максимальных показателей.

Рассматриваемый подход также может применяться при наличии аддитивного шума малой интенсивности, когда индуцированное шумом дополнительное разбегание траекторий много меньше масштаба линейного приближения (обычно 5% – 10% от размера аттрактора).


2.3 Влияние выбора секущей плоскости и длины последовательности времен возврата

На рисунке 2.8 были приведены результаты расчета ляпуновских показателей по последовательности времен возврата в секущую Пуанкаре , то есть для случая примерно равного вклада обеих подсистем модели (2.2). Если вклад одной из подсистем превосходит вклад другой в суммарном сигнале, результаты могут существенно отличаться от ожидаемых. Чтобы проиллюстрировать данное обстоятельство, рассмотрим пересечения нулевого уровня сигналом на входе ПП-модели, заданного следующим образом: или , где , . Полученные результаты представлены на рисунке 2.9. В зависимости от можно выбрать секущую плоскость, для которой отсутствуют артефакты, вызванные генерацией дополнительных импульсов (по этой причине для разных на рисунке 2.9 рассмотрены разные секущие плоскости). Правильные результаты для обоих показателей будут получены в том случае, когда вклады обеих подсистем сопоставимы ( близко к или ). Если сигнал одной из подсистем доминирует, может произойти некорректная диагностика гиперхаотического режима. Отметим, что максимальный показатель Ляпунова правильно вычисляется в более широком диапазоне значений по сравнению со вторым показателем. Это подтверждает, что расчеты второго показателя Ляпунова представляют собой более сложную задачу. Если в последовательностях МИ присутствуют артефакты, погрешность вычислений резко возрастает (рисунок 2.10).





Рисунок 2.9 – Расчеты двух старших показателей Ляпунова в зависимости от выбора секущей плоскости. Пунктирные линии отмечают ожидаемые значения (вычисленные по уравнениям модели (2.2)).




Рисунок 2.10 – Расчеты старшего показателя Ляпунова в зависимости от выбора секущей плоскости (для разных вариантов задания секущей) при наличии артефактов в последовательности МИ, приводящих к появлению существенных погрешностей при некоторых значениях .





Рисунок 2.11 – Зависимости двух старших показателей Ляпунова от количества времен возврата в секущую плоскость .





Рисунок 2.12 – Зависимость абсолютной ошибки вычисления значения λ2

от количества времен возврата в секущую плоскость .



Более детальные исследования свидетельствуют о том, что рассматриваемый подход применим и для меньшего объема выборки, чем рассмотренные 2000 отсчетов. Использование большого объема выборки позволяет снизить ошибки вычисления и возможные флуктуации значений λ1 и λ2, связанные с неподходящим выбором параметров реконструкции. Однако для диагностики перехода «хаос – гиперхаос» достаточно сравнительно небольшой выборки. Рисунок 2.11 иллюстрирует, как значения λ1 и λ2 зависят от числа времен возврата. В соответствии с этим рисунком, даже последовательности, содержащие 500 отсчетов, позволяют вычислить два старших показателя Ляпунова, которые близки к ожидаемым значениям. В качестве иллюстрации, на рисунке 2.12 приведена ошибка расчетов показателя λ2 от числа времен возврата. В зависимости от требуемой точности можно провести более аккуратную оценку требуемого объема выборки. Так, для вычисления λ2 с абсолютной ошибкой, не превышающей 0.005, нужно рассмотреть последовательности, содержащие не менее 1200 времен возврата.


2.4 Заключение по 2-й главе

В ходе проведенных исследований была предложена модернизация метода расчета показателей Ляпунова по последовательностям времен возврата [36], позволяющая избежать ошибочной идентификации динамического режима, вызванной наличием артефактов. Предложенный обобщенный метод позволяет проводить корректное определение двух положительных показателей Ляпунова, характеризующих динамику связанных автоколебательных систем. Соответствующие оценки значений λ1 и λ2 могут быть проведены по очень коротким последовательностям времен возврата в случае динамических режимов, характеризующихся существенно различающимися значениями двух старших показателей Ляпунова.

Важным обстоятельством является выбор секущей плоскости при анализе связанных автоколебательных систем. Если секущая задана таким образом, что она учитывает динамику всех подсистем, то последовательность времен возврата в эту секущую позволяет проводить корректную оценку положительных показателей Ляпунова и, следовательно, осуществлять диагностику переходов «хаос – гиперхаос». В случае рассмотрения гиперхаотических колебаний с близкими значениями положительных показателей Ляпунова, определение перехода «хаос – гиперхаос» также корректно проводится, несмотря на недооценку значения второго показателя Ляпунова.

Переходы к гиперхаосу ранее изучались на основе статистики времен возврата и отображений Пуанкаре. В частности, в статье [117] установлены степенные законы для данных переходов с использованием проекций отображений Пуанкаре, полученных для динамики двух связанных генераторов Ван-дер-Поля с хаотическим внешним воздействием. В работе [118] были охарактеризованы различные свойства переходов «хаос – гиперхаос» с использованием статистики отображений Пуанкаре. Достаточно перспективным инструментом изучения соответствующих переходов является применение мер на основе RP. В частности, в статьях [90, 91] обсуждаются некоторые количественные критерии, которые позволяют идентифицировать переход к гиперхаосу. Однако, данные подходы обычно рассматривают больший объем выборки по сравнению с методом, который был использован в данной диссертационной работе, и это одно из его важных преимуществ.




Каталог: sites -> default -> files -> dissertation -> 2016
files -> Дипломатии в целях реализации сценария «Военно-силового противоборства западной лчц»
2016 -> Н. Г. Чернышевского На правах рукописи ясин алаулдин Салах Ясин фильтрация зашумленных сигналов и изображений с применением вейвлет-преобразованиЯ 01. 04. 03 радиофизика Диссертация
dissertation -> Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью теоретического осмысления внесенного в отечественно
dissertation -> B. B. Gorbatenko, V. P. Ryabukho / The peculiarities of statistical distribution of the phase difference in the speckle-field: the numerical simulation // Progress in Biomedical Optics and Imaging. 2013
dissertation -> Научные публикации
dissertation -> Прохоров Михаил Дмитриевич


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5




База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница