Н. Г. Чернышевского На правах рукописи мохаммад ясир Халаф Мохаммад Анализ хаотических и гиперхаотических режимов колебаний по точечным процессам на основе показателей Ляпунова 01. 04. 03 радиофизика Диссертация


Глава 3 Расчет старшего показателя Ляпунова хаотических режимов колебаний по точечным процессам при наличии шума



страница4/5
Дата09.08.2019
Размер5.02 Mb.
#127867
ТипДиссертация
1   2   3   4   5
Глава 3

Расчет старшего показателя Ляпунова хаотических режимов колебаний по точечным процессам при наличии шума
3.1 Предварительные замечания

Ранее проводившиеся исследования, результаты которых были представлены в предыдущих главах, акцентировали внимание исключительно на детерминированных режимах динамики на входе НС- и ПП-моделей. Случай наличия шума во входных сигналах не был рассмотрен, несмотря на то, что шум может оказывать существенное влияние на вычисляемые характеристики [119–125]. Стандартный метод расчета показателей Ляпунова по временным рядам [75] позволяет частично игнорировать влияние шума за счет задания минимального допустимого расстояния между фазовыми траекториями, которое уменьшает эффект их дополнительного разбегания за счет случайных флуктуаций. Обоснованное задание такого порога для точечных процессов представляет более сложную задачу вследствие того, что при анализе последовательностей межспайковых интервалов спектральные методы не всегда позволяют четко разделить компоненты, связанные с детерминированной динамикой и с флуктуациями.

В данной главе диссертационной работы изучается проблема расчета старшего показателя Ляпунова (λ1) хаотических режимов автоколебаний по точечным процессам при наличии измерительного шума, не влияющего на динамику системы. Такая задача позволяет, например, смоделировать ситуацию, когда на вход порогового устройства поступает сумма полезного сигнала и шума сравнительно небольшой интенсивности, и детерминированная динамика является доминирующей. Обсуждается возможность вычисления λ1 по коротким последовательностям межспайковых интервалов, и предлагается метод проверки корректности проводимых вычислений.
3.2 Особенности расчета старшего показателя Ляпунова по точечным процессам при наличии шума

Оценки показателей Ляпунова по временным рядам обычно проводятся на основе метода [75], который предусматривает реконструкцию фазового портрета с применением стандартного метода задержек [48], хотя могут использоватьсч и другие подходы. Если – временной ряд, представляющий собой координату системы с хаотической динамикой





(3.1)

с номером j, дискретизованную с шагом , то проводится реконструкция аттрактора методом задержек



(3.2)

где m – размерность пространства вложения. В случае слабого хаотического режима с выраженным характерным периодом P временная задержка выбирается приближенно равной P/4. Обычно параметры реконструкции m и не оказывают существенного влияния на результат расчета показателей Ляпунова, если их выбор проводится на основе достаточно общих рекомендаций [49]. Однако точность расчета показателей Ляпунова будет выше, если провести усреднение результатов при вариации данных параметров, снизив тем самым погрешности, которые могут возникнуть при случайном задании параметров алгоритма реконструкции.

После проведения реконструкции оценивается средняя скорость экспоненциального разбегания траекторий. Для начальной точки «базовой» траектории, которая ассоциируется с моментом времени , задается вектор возмущения малой (но конечной) длины [75]. В направлении максимального разбегания траекторий его длина меняется во времени по экспоненциальному закону





(3.3)

Зависимость (3.3) характеризует линейное приближение, справедливое для малых r(t). Когда возмущение нарастает, и вектор преобразуется в вектор , для которого нелинейность системы (3.1) ограничивает скорость разбегания траекторий, должны быть проведены перенормировки. Оптимальный способ перенормировок состоит в выборе нового возмущения в том же самом направлении, но меньшей длины. При рассмотрении конечного числа точек отсутствует возможность точно сохранить направление, вследствие чего возникает ошибка ориентации, которая влияет на точность вычисления старшего ляпуновского показателя. Эта ошибка означает, что перенормированный вектор (или для последующих возмущений) имеет компоненту, ортогональную направлению максимального разбегания траекторий. Эта компонента не увеличивается в соответствии с зависимостью (3.3) и, следовательно, первоначальная длина вектора становится больше, чем в случае, когда направление остается неизменным. В результате происходит уменьшение локального значения старшего показателя Ляпунова.

В общем, алгоритм [75] предусматривает компромисс между минимизацией длины вектора возмущения и ошибки, ассоциирующейся с изменениями ориентации в фазовом пространстве. Эти цели нельзя достичь одновременно, в частности, уменьшение угла α между перенормированным вектором и вектором возмущения до перенормировки () ограничивает возможности выбора подходящей длины вектора . Данное ограничение возникает из-за уменьшения числа подходящих точек в реконструированном фазовом пространстве, которые могут быть выбраны в качестве начальных точек для нового возмущения, приводя к ошибке ориентации меньше чем значение α. Это обычно сопровождается ростом длины перенормированного вектора и более частыми перенормировками, которые необходимо осуществлять для сохранения условий линейного приближения. Частые перенормировки приводят к накоплению ошибок ориентации и, как следствие, к недооценке значения λ1, характеризующего скорость разбегания траекторий, усредненную вдоль всего реконструированного аттрактора. Если применяется алгоритм перенормировок через фиксированное время, то обычно проводится минимизация ошибок ориентации. С этой целью проводится поиск перенормированного вектора с длиной и минимизация угла α, где задает условие линейного приближения, то есть экспоненциального разбегания траекторий, а – пороговое значение, вводимое для того, чтобы избежать дополнительного расхождения близких траекторий, вызванного наличием аддитивного шума. В случае детерминированной динамики выбор принципа перенормировок является менее критичным, и похожие результаты получаются в обоих вариантах: минимизации ошибки ориентации и минимизации длины перенормированного вектора.

Присутствие шума во временном ряде создает сложности вычисления значения λ1. Для непрерывных функций времени, например, временной зависимости переменной состояния , генерируемой моделью (3.1), уровень шума можно оценить путем проведения спектрального анализа. После этого можно задать пороговое значение таким образом, что обусловленное шумом разбегание фазовых траекторий будет исключено (или, по крайней мере, оно не будет оказывать существенного влияния). В этом случае можно адаптировать диапазон , где разбегание траекторий вызвано динамикой анализируемой системы. При анализе точечных процессов, например, последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре с добавлением шума, оценка уровня шума является более сложной задачей, и обычно не является очевидным, как можно корректно ввести подходящий уровень . Вследствие этого возникает задача проверки корректности проведения оценок старшего показателя Ляпунова по точечному процессу.

Метод [75] может использоваться при анализе точечных процессов. Для НС-модели он применяется к последовательности отсчетов S(Ti) после ее интерполяции с постоянным шагом Δt [41]. В случае ПП-модели используется подход, основанный на аппроксимации усредненной мгновенной частоты [36]. Такой подход позволяет проводить корректную диагностику режимов хаотической и гиперхаотической динамики.

В данной диссертационной работе предлагается модификация метода расчета старшего показателя Ляпунова по точечным процессам при наличии шума. Рассмотрим случай, когда шум добавляется к последовательности МИ. Такой шум может иметь различную природу, включая зашумленный входной сигнал (сумму полезного сигнала и сравнительно слабых помех) и флуктуирующий пороговый уровень. Как будет показано далее, достаточно информативной характеристикой, подтверждающей корректность расчета старшего показателя Ляпунова, является зависимость λ1 от максимально допустимой ошибки ориентации α, т.е. угла между векторами возмущения до и после перенормировки, при условии, что новое возмущение выбирается путем минимизации длины вектора в диапазоне [lmin, lmax]. Из общих соображений мы ожидаем, что большие ошибки ориентации приводят к недооценке величины λ1. Кроме того, очень малые значения α существенно уменьшают возможность выбора подходящего вектора возмущения, что приводит к выходу за границы линейного приближения. Обычно это приводит к уменьшению длины вектора по сравнению с и недооценке λ1. Если условие не выполняется для доступного множества векторов в реконструированном фазовом пространстве при малых α, выбор нового возмущения может проводиться достаточно произвольно, что также приводит к недооценке λ1. Как будет далее показано, оптимальное значение α, соответствующее максимуму зависимости λ1(α), позволяет осуществлять более точную оценку старшего показателя Ляпунова по точечным процессам, а характер данной зависимости позволяет характеризовать уровень шума, присутствующего в анализируемой последовательности МИ.
3.3 Результаты исследований

3.3.1 Модель «накопление-сброс»

В качестве примера системы, демонстрирующей хаотическую динамику, была выбрана модель Ресслера (1.8). Для проведения исследований был рассмотрен режим фазо-когерентного хаоса, наблюдающийся при следующих значениях управляющих параметров , , . В целях обеспечения высокой частоты генерации импульсов в качестве входного сигнала модели НС выбиралось линейное преобразование первой координаты . Эффект шума учитывался путем добавления нормально распределенного случайного процесса с интенсивностью , т.е. сигнал на входе НС-модели задавался в виде .

Расчет старшего показателя Ляпунова проводился на основе метода [75] с использованием следующего варианта перенормировок: вектор возмущения выбирался с ошибкой ориентации, не превышающей α, при условии минимизации его длины в диапазоне [lmin, lmax]. Рисунок 3.1 демонстрирует характерные зависимости λ1(α) для порогового значения θ=10 и различных интенсивностей шума .





Рисунок 3.1 – Зависимости старшего показателя Ляпунова хаотического режима динамики системы Ресслера (1.8), вычисленные по последовательностям МИ модели НС при θ=10, от максимальной ошибки ориентации векторов возмущений при разных значениях интенсивности аддитивного шума. Пунктир обозначает значение показателя, вычисленное по уравнениям системы (1.8) методом [73]. Здесь и далее расчеты проводились при значениях параметров алгоритма lmin=0.01, lmax=0.1 по последовательностям, содержащим 2000 МИ.

Если =0, зависимость λ1(α) демонстрирует максимум вблизи значения . Для углов уменьшение λ1 вызвано частыми перенормировками. Малые α приводят к малой вероятности выбора подходящего перенормированного вектора, длина которого близка к . Увеличение размера векторов приводит к необходимости сокращать интервал времени между перенормировками. Если этот интервал времени оставить без изменения, возмущения превысят lmax, что приведет к недооценке старшего ляпуновского показателя. Рассмотрение более коротких интервалов между перенормировками означает возрастание числа перенормировок и накопление ошибок ориентации. Если α очень мало, может возникнуть ситуация, когда не удается выбрать соседнюю траекторию из-за отсутствия точек в реконструированном фазовом пространстве, удовлетворяющих сформулированным принципам перенормировок, и условие придется менять, чтобы продолжить расчет старшего показателя. Как правило, это приводит к уменьшению его величины.

В области значения λ1 уменьшаются с ростом из-за возрастающих ошибок ориентации, что приводит к меньшим отношениям . Соответствующая зависимость λ1(α) характеризуется отрицательным наклоном в диапазоне (рисунок 3.2а). Для оптимального значения угла вычисленный старший ляпуновский показатель принимает значение, близкое к ожидаемой величине, вычисленной по уравнениям системы Ресслера. Это значение проиллюстрировано горизонтальной линией на рисунке 3.1. Наличие оптимума в области сравнительно малых углов может интерпретироваться как индикатор корректности проведенных вычислений λ1. Характер зависимости λ1(α) (рисунок 3.1, круги) является типичным для детерминированных последовательностей МИ модели НС.


(а)

(б)



Рисунок 3.2 – Наклоны зависимостей λ1(α) (см. рисунок 3.1) в диапазоне

[π/3, π/2] (a) и средняя длина перенормированного вектора для =0 (б). При расчетах использовались следующие параметры: m=5, τ≃P/4, lmin=0.01, lmax=0.1.



При добавлении слабого шума зависимость λ1(α) приобретает другую форму (рисунок 3.1, треугольники). В области больших α ее наклон становится положительным (рисунок 3.2а), начиная с некоторого значения α*, которое зависит как от интенсивности шума, так и от параметров алгоритма, таких как пороговое значение , которое определяет минимальное расстояние между траекториями в фазовом пространстве.

Однако наличие оптимума в точке по-прежнему позволяет проводить корректную оценку старшего показателя Ляпунова. Если интенсивность шума возрастает, то α* приближается к , и локальный максимум зависимости λ1(α) в точке исчезает. В этом случае отсутствует возможность проверки корректности вычисления старшего показателя Ляпунова, и полученная величина λ1 может существенно отличаться от ее ожидаемого значения. Таким образом, характер зависимости λ1(α) представляет собой индикатор корректности вычислений старшего ляпуновского показателя. Дополнительно эта зависимость может использоваться для оценки уровня шума, присутствующего в анализируемой последовательности МИ, так как возрастающая интенсивность шума приводит к увеличению наклона λ1(α) в области (рисунок 3.2а) и уменьшению значений . Несмотря на то, что значение может варьироваться в зависимости от параметров алгоритма, таких как минимальное расстояние между траекториями , в случае зашумленных данных сохраняется переход от отрицательного к положительному наклону зависимости λ1(α).

Отметим дополнительные особенности зависимости λ1(α) при наличии шума в последовательности МИ. Если интенсивность шума возрастает, вычисленное значение λ1, относящееся к оптимальному углу , может уменьшаться, хотя значения старшего ляпуновского показателя при больше, чем в случае детерминированной последовательности МИ. Это обстоятельство, возможно, объясняется различными длинами перенормированных векторов (рисунок 3.2б). В области малые углы снижают вероятность выбора подходящих векторов возмущений. В результате средняя длина перенормированного вектора может приблизиться к границе линейного подхода. Для больших векторов эффекты шума состоят в сравнительно малых изменениях ориентации и в возрастании компонент вектора в направлениях, которые не ассоциируются с максимальным разбеганием траекторий. Кроме того, условие линейного подхода между перенормировками не выполняется. Эти две причины приводят к уменьшению значения λ1. Для больших углов средняя длина перенормированного вектора существенно снижается. В этом случае обусловленное шумом разбегание траекторий при перенормировках может превосходить их разбегание, обусловленное динамикой. При проведении минимизации возмущения возрастает вероятность выбора точки соседней траектории, которая становится ближе из-за наличия случайных флуктуаций. Как следствие, длина перенормированного вектора уменьшается по сравнению с детерминированным случаем, старший ляпуновский показатель возрастает.

Аналогичные результаты были получены при других значениях порогового уровня. В частности, на рисунке 3.3 представлены расчеты, проведенные при выборе порогового уровня . По-прежнему наблюдается четко выраженный максимум в области сравнительно небольших значений α. в отсутствие шума, слева и справа от которого происходит уменьшение значений старшего показателя Ляпунова в связи с частыми перенормировками и возрастающей ошибки ориентации, соответственно. Снова можно сделать вывод о том, что наличие оптимума зависимости λ1(α) в области небольших значений α и последующий спад данной зависимости является маркером корректных оценок показателя Ляпунова λ1 по точечным процессам НС-модели.





Рисунок 3.3 – Зависимости старшего показателя Ляпунова хаотического режима динамики системы Ресслера, вычисленные по последовательностям МИ модели НС при θ=5, от максимальной ошибки ориентации векторов возмущений при разных значениях интенсивности аддитивного шума. Значения α представлены в градусах, пунктир обозначает значение показателя, вычисленное по уравнениям системы (1.8) методом [73].

Данные выводы справедливы при высокой частоте генерации. В соответствии с ранее проводившимися исследованиями [41], если среднее значение МИ () становится меньше , где – характерный период колебаний, то соответствующая последовательность МИ не позволяет проводить расчеты динамических характеристик колебательного режима на входе модели НС.

Отметим, что данные выводы сделаны для случая, когда средний межспайковый интервал Ii не превышает 1/4 характерного периода хаотических колебаний в соответствии с ограничениями, рассмотренными в работах [41, 44]. Полученные результаты качественно не зависят от таких параметров алгоритма, как lmin, lmax и объема выборки, однако варьирование этих параметров влияет на точность проводимых оценок, в частности, на величину α*. Тем не менее, общие закономерности, представленные на рисунках 3.1–3.3, сохраняются.

Рассмотрим пороговый уровень , который соответствует случаю, когда не выполняется требование . Большие МИ означают, что входной сигнал восстанавливается со значительными ошибками, аналогичными добавлению шума к точечному процессу. По этой причине даже в случае детерминированной динамики () зависимость λ1(α) (рисунок 3.4) становится похожей на зависимости, полученные для зашумленных входных сигналов. Отсутствие оптимального значения α не позволяет проводить верификацию проводимых вычислений старшего ляпуновского показателя. Слабый шум () не меняет характер соответствующей зависимости, так как значения S(t) больше по сравнению со случаем порогового уровня (рисунок 3.1а). При возрастании интенсивности шума наклон зависимости λ1(α) становится больше (по аналогии с рисунком 3.1а). Таким образом, малая частота генерации имеет аналогию с зашумленной последовательностью МИ при вычислении старшего показателя Ляпунова.






Рисунок 3.4 – Зависимости λ1(α), вычисленные по последовательности МИ модели НС для разных интенсивностей шума при выборе порогового уровня , приводящего к частоте генерации примерно 4 импульса за характерных период колебаний.

Для тестирования предложенного подхода была рассмотрена также другая модель системы с хаотической динамикой – генератор с инерционной нелинейностью. На рисунке 3.5 приведены результаты, полученные для детерминированной динамики и слабого шума (D=0.0001). Они подтверждают сделанные выводы. Отметим, что при добавлении шума с интенсивностью D=0.0001 происходят изменения наклона зависимости λ1(α) только в области больших углов. Если уровень шума увеличивается, характер зависимости λ1(α) существенно меняется, демонстрируя аналогию с результатами, полученными для системы Ресслера (рисунок 3.6). При добавлении шума с интенсивностью D=0.001 достигается граница применимости рассмотренного подхода – более сильный шум приводит к исчезновению максимума зависимости λ1(α), после чего расчеты старшего показателя Ляпунова становятся недостоверными.


Каталог: sites -> default -> files -> dissertation -> 2016
files -> Дипломатии в целях реализации сценария «Военно-силового противоборства западной лчц»
2016 -> Н. Г. Чернышевского На правах рукописи ясин алаулдин Салах Ясин фильтрация зашумленных сигналов и изображений с применением вейвлет-преобразованиЯ 01. 04. 03 радиофизика Диссертация
dissertation -> Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью теоретического осмысления внесенного в отечественно
dissertation -> B. B. Gorbatenko, V. P. Ryabukho / The peculiarities of statistical distribution of the phase difference in the speckle-field: the numerical simulation // Progress in Biomedical Optics and Imaging. 2013
dissertation -> Научные публикации
dissertation -> Прохоров Михаил Дмитриевич


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5




База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница