Определение. Кривая называется плоской, если все ее точки лежат в некоторой плоскости. Введем прямоугольную декартову систему координат такую



Скачать 29.84 Kb.
Дата30.09.2018
Размер29.84 Kb.
#51066

§ 5. Плоские кривые.

Определение. Кривая называется плоской, если все ее точки лежат в некоторой плоскости .

Введем прямоугольную декартову систему координат такую, что плоскость . Тогда и . Далее, .

Свойства плоских кривых.



Соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью кривой.

Главная нормаль лежит в плоскости кривой.

Кручение плоской кривой тождественно равно нулю.
Ÿ Вектор из третьего уравнения Френе. Ÿ

Докажем обратное.



Теорема. Если во всех точках гладкой кривой кручение равно нулю, то кривая плоская.

Ÿ Пусть . . Запишем это соотношение в координатах . Таким образом, координаты всех точек кривой удовлетворяют уравнению, задающему плоскость. Это плоскость, в которой лежит кривая. Ÿ



Замечание. Плоская кривая может быть задана системой уравнений . В настоящем параграфе договоримся опускать второе уравнение.

Замечание. Формулы Френе плоской кривой имеют вид . Главная нормаль плоской кривой называется просто нормалью.

Далее в этом параграфе, если нет специальных оговорок, рассматриваются плоские кривые.



Определение. Кривая в момент времени имеет с кривой касание порядка , если для функции выполнены условия

0.

1.

2.

…………….



.

Определение. Окружность, имеющая в некоторой точке кривой с ней порядок касания не ниже второго, называется соприкасающейся. Радиус соприкасающейся окружности называется радиусом кривизны кривой в точке касания. Центр соприкасающейся окружности называется центром кривизны кривой в точке .

Задача. Составить уравнение соприкасающейся окружности к произвольной кривой , где - натуральный параметр, в произвольной точке и доказать, что ее радиус равен .

Решение. Уравнение окружности с центром в точке, определяемой вектором , и радиусом имеет вид . Надо найти и . Мы видим, что окружность задается общим уравнением . Вспомогательная функция . Соприкасающаяся окружность имеет порядок касания не ниже второго, то есть в точке касания должны выполняться условия: , которые дадут нам систему для нахождения и .

1) . Это означает, что кривая и окружность пересекаются в точке .

2) . Вычислим производную . Эта производная должна быть равна нулю в точке , то есть . Это означает, что радиус соприкасающейся окружности перпендикулярен касательной в точке и направлен по нормали: .

3) . Вычислим вторую производную, используя уравнения Френе.

. В точке это выражение должно быть равно нулю.

, то есть - радиус соприкасающейся окружности. Ее центр . 
Определение. Точка , то есть центр соприкасающейся окружности, называется центром кривизны кривой в точке .
Определение. Эволютой гладкой кривой называется множество всех точек, являющихся центрами кривизны этой кривой, то есть множество центров всех соприкасающихся окружностей этой кривой.

Уравнение эволюты . Заметим, что для эволюты кривой параметр вообще говоря, не является натуральным. Очевидно, что эволюта гладкой кривой сама является гладкой.

Определение. Кривая называется эвольвентой кривой , если является эволютой .

Свойства эволюты и эвольвенты будут более подробно рассмотрены на семинаре.


Замечание. Рассмотрим натуральные уравнения плоской кривой: . В этом случае второе уравнение превращается в тождество и плоская кривая задается одним натуральным уравнением . Оно позволяет определить кривую однозначно с точностью до положения в пространстве. Алгоритм "восстановления " параметрических уравнений кривой по ее натуральному уравнению будет рассмотрен на семинаре.

Скачать 29.84 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:




База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница