Основные понятия. Существует множество различных формулировок понятия ЭВМ от достаточно простых и понятных до чрезмерно вычурных, которые, однако, схожи по своей сути. По Э. Таненбауму



страница7/20
Дата09.08.2018
Размер2.45 Mb.
#43700
ТипРешение
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   20

1.3. ЧИСЛА С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ

Форма с плавающей запятой используется для представления так называемых действительных чисел, которые в обобщенном виде представляются как:



(1.6)

где signA – знак числа А (0 – для положительных, 1 – для отрицательных),



МА – мантисса числа А,

S – основание порядка,

РА – порядок числа А.

В классическом представлении мантисса числа представляется правильной дробью со старшей значащей цифрой.

Порядок числа представляет собой целое число со знаком.

В качестве основания порядка в современных ЭВМ используется S = 2 (двоичное представление мантиссы) и S = 16 (16-ричное представление мантиссы). Основание 2 используется в миникомпьютерах, а 16 – в компьютерах типа Main Frame, а также в суперЭВМ.




- примеры записи чисел в форме (1.6) с десятичным представлением мантиссы (S=10).






Основными особенностями представления чисел с плавающей запятой в современных ЭВМ являются:
1. Преимущественное использование так называемых нормализованных чисел.

Число с плавающей запятой называется нормализованным, если старшая цифра его мантиссы является значащей (не ноль).

Подавляющее использование именно нормализованных чисел связано с требованиями повышения точности при выполнении различных операций, т.к. именно нормализованные числа обладают наименьшей погрешностью по сравнению с ненормализованными.
2. Порядок числа представляется не как целое число со знаком в явном виде, а в виде беззнакового числа, называемого смещенным порядком или характеристикой. При этом характеристика отличается от порядка на некоторую фиксированную для данного формата величину, называемого смещением (или смещением порядка).
ХА = РА + d (ХА – характеристика числа А, d – смещение порядка). (1.7)

Существует 2 подхода к выбору величины смещения:

1) Величина смещения равна весу старшего разряда смещенного порядка (характеристики).

2) Величина смещения равна весу старшего разряда смещения порядка, уменьшенного на 1.

Первый подход используется в основном в больших ЭВМ, второй в миникомпьютерах, в том числе в ПК.
3. Для представления чисел с плавающей запятой в рамках конкретной модели ЭВМ используется несколько форматов, как правило, 2 или 3, отличающихся разрядностью мантиссы и, в некоторых случаях, порядка. Эти форматы, как правило, носят название:

1) короткий формат (32 бита) или формат одинарной точности;

2) длинный формат (64 бита) – формат двойной точности;

3) расширенный формат (128 или 80 бит) – формат расширенной точности.

Для последнего формата длина 128 бит является типичной для больших ЭВМ, а 80 бит – для миникомпьютеров, в том числе и для ПК.

Использование разнообразных форматов позволяет реализовать различные требования к точности и, возможно, диапазону представления чисел. При выборе формата для конкретных вычислений следует исходить из точности вычислений и их скорости.

В использовании различных форматов в современных ЭВМ существуют 2 тенденции к расширению форматов:

1) формат расширяется только за счет увеличения разрядности мантиссы (разрядность порядка сохраняется).

2) формат расширяется за счет увеличения как мантиссы, так и порядка.

В первом случае расширение формата сопровождается только увеличением точности при неизменном диапазоне представления чисел.

Во втором случае расширение формата приводит как к увеличению точности, так и диапазона представления чисел.

Первый подход к расширению формата в основном используется в больших ЭВМ, а второй – в ПК.


4. Независимо от знака числа мантисса чисел с плавающей запятой представляется в прямом коде.
1.4. ОСОБЕННОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ

С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ В ПЕРСОНАЛЬНЫХ КОМПЬЮТЕРАХ
Эти особенности регламентируются международным стандартом IEEE-754. Этот стандарт, кроме особенности представления чисел, оговаривает также все особые ситуации, связанные с обработкой чисел с плавающей запятой и стандартные реакции на эти ситуации.

1. В качестве основания порядка используется S = 2.

2. Мантисса числа представляется неправильной дробью, имеющей одну цифру в целой части. Вследствие того, что, как правило, используются только нормализованные числа с обязательной единицей в целой части мантиссы, эта единица в формате не представляется, а лишь подразумевается и носит название скрытая единица (скрытый разряд).

Скрытая единица имеет место только в коротком и длинном форматах. В расширенном формате она представляется явно.

3. Различные форматы имеют следующую структуру (см. рис.1.2):

Рис. 1.2. Форматы чисел
4. Порядок числа представляется со смещением в виде беззнакового целого числа, называемого характеристикой. Величина смещения равна весу старшего разряда характеристики, уменьшенному на 1.
Для различных форматов величина смещения различна и составляет:

КФ: d = 27 – 1 = 127,

ДФ : d = 210 – 1 = 1023,

РФ: d = 214 – 1 = 16383.



1.5. ДИАПАЗОН ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ЗАПЯТОЙ

Его принято определять в отношении модуля нормализованного числа.

В общем виде диапазон представляется следующим двойным неравенством:

(1.8)

Диапазон представления нормализованной мантиссы, представленной неправильной m-разрядной дробью с обязательной единицей в целой части, имеет вид:



(1.9)

С учетом того, что единица целой части является скрытой для короткого и длинного форматов, диапазон представления мантиссы преобразуется:



(1.10)

При достаточно больших значениях m правую границу мантиссы можно считать с большой степенью точности равной 2.

Диапазон порядка как целого знакового числа определяется из диапазона характеристики.

При использовании n разрядов под характеристику ее диапазон как целого беззнакового числа определяется в виде:



(1.11)

Стандартом IEEE 754 (854) предусматривается зарезервирование крайних значений характеристики для представления специальных значений типа NAN (Not A Number), , ¤ (неопределенность), 0, а также денормализованных чисел. Таким образом, при определении реального диапазона характеристики и, следовательно, порядка следует исходить из неравенства (1.12):



(1.12)


На числовой оси диапазон представления располагается симметрично относительно нуля:


Рис. 1.3. Диапазон представления чисел
При выполнении арифметических операций результат операции может выходить за диапазон представления чисел.

Получение результата, меньшего по модулю минимального представления числа, приводит к особому случаю исчезновения порядка (ИП), а получение результата, по модулю большего максимального представления числа,  к особому случаю переполнения порядка (ПП).

Эти случаи фиксируются специальными флагами особых случаев, которые размещаются в регистре состояний АСП (FPU) – арифметического сопроцессора (Floating Point Unit).

Возникновение особых случаев может служить причиной для прерывания выполняемой программы.

В терминологии фирмы Intel особый случай исчезновения порядка называется антипереполнением.

Как правило, стандартной реакцией на особый случай антипереполнения является присвоение результату значения 0. В стандарте предусматриваются 2 возможных значения 0 – положительное и отрицательное, отличающихся значением знакового разряда при нулевых значениях характеристики и мантиссы.






Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   20




База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница