Первообразная и неопределённый интеграл



Скачать 93.21 Kb.
Дата17.12.2017
Размер93.21 Kb.




Первообразная и неопределённый интеграл.
Введение.

Интегральное исчисление является второй частью курса математического анализа, непосредственно следующей за дифференциальным исчислением. Само понятие интеграла наряду с понятием производной и дифференциала является фундаментальным понятием математического анализа. Это понятие возникло, с одной стороны, из потребности решать задачи на вычисление площади, длины окружности, объёма, работы переменной силы, центра тяжести и так далее, с другой – из необходимости находить функции по их производным.

В соответствии с этим возникли понятия определённого и неопределённого интегралов.

Как известно, основная задача дифференциального исчисления заключается в отыскании производной или дифференциала заданной функции.

С помощью дифференциального исчисления можно получить локальные характеристики какого, либо процесса, описываемого функциональной зависимостью (например, скорость движения, экстремум, кривизну траектории точки и т. д.). Но часто требуется решить обратную задачу: оценить процесс или явление в некотором смысле в целом, зная некоторые его характеристики) например, зная функцию мгновенной скорости движения, найти путь за определенное время; зная угловой коэффициент касательной к кривой в каждой точке, найти уравнение этой кривой и т. д.) Такая задача решается с помощью интегрального исчисления. Слово «интеграл» в переводе с латинского означает «целый».

Можно поставить обратную задачу: по данной функции найти такую функцию , которая бы удовлетворяла условию . Отыскание функции по заданной её производной и является одной из основных задач интегрального исчисления.

К задаче восстановления функции по её производной приводят самые разнообразные вопросы математического анализа с его многочисленными приложениями в области геометрии, механики, физики, техники.

1. Первообразная, семейство первообразных.
Поставим задачу: дана функция , найти такую функцию , производная которой равнялась бы заданной функции, т. е. чтобы выполнялось равенство =

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:



F(x) = f(x).

Пример: пусть. Тогда первообразная, так как.Функция также первообразная , так как.

Уже из этого примера видно, что у одной функции может быть несколько первообразных. В качестве первообразных можно было взять ;

Отсюда ясно, что операция нахождения первообразной не является однозначной. Поставим вопросы:

1) всякая ли функция имеет первообразную?

2) сколько первообразных может иметь функция?

Ответы на эти вопросы дают следующие теоремы:
Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную.
Теорема 2. Если функция есть первообразная функции на , то всякая другая первообразная для отличается от на постоянное слагаемое, т.е может быть представлена в виде

, где c-const.
Доказательство. Пусть и - две первообразные для , тогда

и , т.е


Но если две функции на отрезке имеют равные производные, то разность этих функций постоянная, т.е

-=с или =+с

Таким образом, функция непрерывная на отрезке имеет на нем бесконечное множество первообразных.


2. Неопределенный интеграл, его простейшие свойства.

Определение: Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается.



Функция f(x) называется подынтегральной функцией

комбинация f(x)dx-подынтегральным выражением

х- переменная интегрирования

1) Действие отыскания первообразных называется интегрированием. Оно обратно дифференцированию.

2) При помощи дифференцирования по данной функции находят ее производную, а при помощи неопределенного интегрирования по данной производной находят первообразную функцию.

График первообразной от функции называется интегральной кривой.



Неопределенный интеграл представляется множеством (семейством) интегральных кривых (графиков +с=у), получаемых при параллельном непрерывном движении одной из них вдоль Оу.

Угловой коэффициент к ним равен .

Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие равенства:

1.

2.

3.
Основные свойства неопределенного интеграла.
1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен сумме их интегралов.

где u, v, w – некоторые функции от х.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.



3. Вид интеграла не зависит от выбора переменной интегрирования (инвариантность) т.е, если =, то и =


Пример:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача.



Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.


Интеграл

Значение

Интеграл

Значение

1



-lncosx+C

9



ex + C

2



lnsinx+ C

10



sinx + C

3





11



-cosx + C

4





12



tgx + C

5





13



-ctgx + C

6



ln

14



arcsin + C

7





15





8





16







3. Общие методы интегрирования.
Рассмотрим три основных метода интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Пример.

Способ подстановки (замены переменных).


Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:


Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

правая часть данного равенства есть сложная функция от «х»; t-промежуточная переменная.



=

Если интеграл в правой части окажется табличным, то задача будет решена.



Пример 1. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.




Пример 2.

Замена Получаем:





Пример 3.



Пример 4.




Интегрирование по частям.
Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv) = uv + vu

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. По частям берутся интегралы вида:

1)



В этих интегралах в качестве u всегда берется



Пример.

2)



3)

Здесь за u всегда принимают обратную тригонометрическую функцию.

4)

За u принимают lnx.

Пример:

По частям берутся также интегралы вида:



и

Двукратным применением формулы интегрирования по частям эти интегралы приводятся сами к себе (т.н. интегралы возврата). Получается алгебраическое уравнение относительно искомого интеграла.



Пример:

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.


Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.


Заключение.

Несмотря на то, что применение обобщённой таблицы основных интегралов значительно увеличивает класс функций, интегралы от которых берутся непосредственно, однако существуют многие классы функций, интегрирование которых не может быть выполнено только с помощью этой таблицы. Наша ближайшая задача и будет состоять в том, чтобы научиться интегрировать как можно более широкие классы функций.
Каталог: company -> personal -> user -> 7159 -> files
user -> Лекция Структура баз данных в ms sql server
user -> Болезни кожи и рыхлой клетчатки
user -> №2: «Фармакологическое обездвиживание животных. Местное обезболивание. Наркоз. Антидоттерапия»
user -> Простейший документ
user -> Учебные вопросы
user -> Тема Строение и морфологические типы хромосом. Кариотипы культурных растений
user -> Методические указания по курсу: "Биологическая химия" предназначены для использования при выполнении лабораторных работ и самостоятельной подготовки студентов факультета ветеринарной медицины по направлениям «Ветеринария» и«Ветеринарно-санитарная
files -> Первообразная и неопределённый интеграл


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница