Программа аттестации №1 по тфкп. Комплексные числа и действия над ними

ПРОГРАММА АТТЕСТАЦИИ №1 ПО ТФКП.

1.Комплексные числа и действия над ними.

2.Комплексная плоскость, бесконечно удаленная точка и сфера Римана.

3.Комплексные уравнения линий на плоскости (луч, эллипс, окружность, гипербола).

4.Понятие функции комплексного переменного. Действительная и мнимая части функции. Однозначные, многозначные, однолистные и многолистные функции. Линейная функция.

5.Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

6.Производная функции комплексного переменного. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Условия Коши-Римана. Аналитичность функции в точке и в области.

7.Сопряженные гармонические функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной и мнимой части.

8.Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Конформные отображения.

9.Ряды с комплексными членами. Необходимое и достаточное условие их сходимости. Абсолютная и условная сходимость.

10.Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и круг сходимости.

11.Определение функций Их свойства и связь между ними.

12.Интегралот непрерывной функции комплексного переменного. Связь с криволинейными интегралами. Свойства (линейность, аддитивность, изменение направления, теорема об оценке).

13.Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Формула Ньютона-Лейбница для аналитических функций.

14.Интегральная формула Коши для односвязной и многосвязной областей.

15.Разложение аналитической в круге функции в ряд Тейлора. Интегральная формула для производной го порядка.

16.Разложение аналитической в кольце функции в ряд Лорана.

17.Классификация изолированных особых точек однозначных аналитических функций. Связь нуля и полюса.

18.Вычет функции относительно особой точки. Вычисление вычета относительно полюса.

19.Основная теорема о вычетах.

20.Вычет относительно бесконечно удаленной точки. Вторая теорема о вычетах.

21.Вычисление с помощью вычетов интегралов по действительной оси. Лемма Жордана.

ВОПРОСЫ С ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ

1.Доказать необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного.

2.Вывести из определения производной геометрический смысл аргумента и модуля производной.

3.Дать определение функций . Вывести связь между ними. Доказать теоремы сложения для , .

4.Доказать теорему Коши для односвязной и многосвязной областей.

5.Вывести интегральную формулу Коши для односвязных и многосвязных областей.

6.Доказать теорему о разложимости аналитической в круге функции в ряд Тейлора.

7. Доказать теорему о разложимости аналитической в кольце функции в ряд Лорана.

8.Дать классификацию изолированных особых точек однозначных аналитических функций и доказать теорему о связи между нулем и полюсом.