Решение. 1 Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу точка



страница1/7
Дата14.12.2017
Размер0.88 Mb.
#3571
  1   2   3   4   5   6   7
      1. Федеральное агентство по образованию

      2. Государственное образовательное учреждение

      3. высшего профессионального образования

      4. ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ



      1. Элементы теории функций комплексного переменного




      1. Индивидуальные задания


      1. Пособие разработано ассистентом Костиной Е.В., ассистентом Морозовой Е.А., доцентом Плаксиной В.П., ст. преп. Федосеевой О.А..


Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»
      1. © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ


Пермь 2007

Разбор типового варианта

Задание 1.

1) Найти модуль и аргумент чисел и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

2) Найти: а). ; б). ; в).

Решение.

1) Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка , числу - точка .


Для нахождения модуля и аргумента заданных чисел воспользуемся формулами:



и

Получим:


, ,

, .

Чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической и показательной применим формулы:



и .

Использовав ранее полученные результаты, получим:



,

,

,

.

2) а)



б)



в) Применим формулу .



при : ;

при : ;

при :





Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) ;

б) .

Решение.

а)

б) По определению .

,



Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть функции :



Таким образом, получим:



Найдем частные производные и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:



.

,

,

т.е. для любых действитедбных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .



,

,

т.е. для любых действитедьных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

Так как условия Коши-Римана выполняются для любой пары действительных чисел и частные производные существуют и непрерывны в окрестности любой точки , то производная существует в любой точке комплексной плоскости С.

Найдем эту производную:







Итак, .

Действительная часть производной:

,

мнимая часть производной:



.

Задание 4. Определить вид кривой .

Решение.

.

Откуда

Выразим из каждого уравнения:

Исключим из уравнений:



.

,

, ,

,

- уравнение гиперболы.

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами:

а).

б).

а). Искомым множеством является пересечение кольца и внутренней части угла :



б). Кривую запишем в декартовых координатах:





Итак, .

Или ,

- Лемниската Бернулли.

Неравенство определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:





Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Решение.

Найдем частные производные:





Следовательно,



, .

Таким образом, функция гармоническая в плоскости , и, значит существует такая аналитическая в функция , что .

В силу условий Коши-Римана имеем:

(1)

(2)

Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :



. (3)

Продифференцируем (3) по х:



Сопоставляя результат с (2), получаем , откуда .

Таким образом, имеем

и

Учитывая условие , получаем .

Итак,

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Решение.

Для того чтобы найти образ области при отображении , нужно найти образ границы области , затем взять произвольную точку из области и найти ее образ.



Правило для определения уравнения образа кривой.

Пусть в области кривая задана . Чтобы найти уравнение образа этой кривой в плоскости при отображении с помощью функции , нужно исключить и из уравнений:



(1)

Если кривая задана параметрическими уравнениями:



или ,

то параметрические уравнения её образа при отображении будут



В данном примере граница области состоит из трех частей: . Найдем ее образ при данном отображении.

Выделим и действительную и мнимую части функции.

;

, .

Возьмем первую часть границы и найдем ее образ. Составим систему (1):



Возведем в квадрат первое и второе уравнения системы и сложим:



.

Окончательное уравнение границы при .

Аналогично находим образ : при .

Образ находим из системы:



Следовательно, образ границы : при и при ; . Изобразим образы границ на плоскости .

Для изображения образа области на плоскости возьмем контрольную точку. Точка обратится в точку .



Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) , ;

б) , .

Решение.

а) Функция имеет две особые точки и . Отметим их на плоскости Z, проведем 2 окружности с центром в точке , проходящие соответственно через точки и . Следовательно, имеется три области, в каждой из которых функция является аналитической:



1);

2) кольцо ;

3) область , являющаяся внешностью круга .
Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу

(1)

справедливую при .

Представим функцию в виде суммы элементарных дробей:

.

1) Рассмотрим круг . Запишем элементарные дроби и в виде , где при . Представим функцию следующим образом: . Теперь к таким дробям применима формула (1).

Так как в рассматриваемой области , то в силу формулы (1) . Так как и тем более (если , то тем более ), значит, в силу формулы (1) .

Следовательно, ==



Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде . В знаменателях дробей мы записали выражения вида , где .

Так как , то и в силу формулы (1) . Так как , то, как и в предыдущем случае, .

Следовательно, ==.

Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) .

В рассматриваемой области , значит и поэтому



.

Функцию представим в виде . В силу полученных разложений имеет место равенство



=.

Полученное разложение содержит только главную часть ряда Лорана.

б) Функция имеет 2 особые точки и , отметим их на плоскости Z. Точка совпадает с точкой . Проводим окружность с центром в точке , проходящую через точку .

Следовательно существуют две области, в каждой из которых функция является аналитической:



1) кольцо

2) кольцо

Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу (1). Представим функцию в виде суммы элементарных дробей:

1) Требуется получить разложение функции по степеням z–1 в области . Первая дробь уже представляет собой степень . Для того, чтобы вторую дробь представить в искомом виде, сделаем замену , тогда и . Дробь разложим по степеням как в предыдущем примере. При воспользуемся представлением:



;

Сделаем обратную замену. Получим, что при функция представима в виде



.

Полученное разложение содержит правильную и главную часть ряда Лорана.

2) Аналогично, сделав замену , получаем представление дроби в области

Сделав обратную замену, получаем, что при функция представима в виде:



.

В первом случае главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое, во втором случае ряд Лорана состоит только из одной главной части.



Задание 9. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности особой точки .

Решение. Воспользуемся известным разложением:

.

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

a) ;

б) ;

в) .





Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7




База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница