Всё о метрологии Часть теоретические основы метрологии глава предмет и задачи метрологии



страница5/16
Дата09.08.2019
Размер1.17 Mb.
#128250
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

4.3. Моменты случайных погрешностей


Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных погрешностей прибегают иногда при исследовании принципиально новых мер и измерительных приборов.

Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами [3].

Начальным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида




(14)

представляющий собой математическое ожидание степени .

При n=1




(15)

т.е. первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов измерений.

Центральным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида




(16)

Вычислим первый центральный момент:



(17)

Таким образом, первый центральный момент результатов наблюдений равен нулю. Важно отметить, что начальные и центральные моменты случайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов наблюдений, поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений.

При n=2


.

(18)

Дисперсия D[X] случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.

Если математическое ожидание результатов наблюдений можно рассматривать в механической интерпретации как абсциссу центра тяжести фигуры, заключенной между кривой распределения и осью Ох, то дисперсия является аналогом момента инерции этой фигуры относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:


.

(19)

С помощью среднеквадратического отклонения можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины , т. е. вероятность . Для этого рассмотрим формулу, известную как неравенство Чебышева:

или .

(20)

Полагая , можно найти вероятность того, что результат однократного наблюдения отличается от истинного значения на величину, большую утроенного среднеквадратического отклонения, т. е. вероятность того, что случайная погрешность окажется больше :


Вероятность того, что погрешность измерения не превысит , составит соответственно



Неравенство Чебышева дает только нижнюю границу для вероятности , меньше которой она не может быть ни при каком распределении. Обычно значительно больше 0.89. Так, например, в случае нормального распределения погреш-ностей эта вероятность составляет 0.9973.

Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют наиболее важные черты распределения: положение центра распределения и степень его разбросанности. Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий момент случайных погрешностей служит характеристикой асимметрии, или скошенности распределения. В общем случае любой нечетный момент случайной погрешности характеризует асимметрию распределения. Действительно, если распределение обладает свойством симметрии, то все функции вида , где s = l, 3, 5..., являются нечетными функциями (рис.3).

Поэтому все нечетные моменты, являющиеся интегралами этих функций в бесконечных пределах, должны равняться нулю. Отличие этих моментов от нуля как раз и указывает на асимметрию распределения. Простейшим из нечетных моментов является третий момент . Чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на третью степень среднеквадратического отклонения и получают коэффициент асимметрии, или просто асимметрию Sk распределения:




(21)

Для иллюстрации сказанного на рис.4 приведены три кривые распределения случайных погрешностей с положительной, отрицательной и нулевой асимметрией.

Четвертый момент служит для характеристики плосковершинности или островершинности распределения случайных погрешностей. Эти свойства описываются с помощью эксцесса - безразмерной характеристики, определяемой выражением




(22)

Число 3 вычитают из отношения потому, что для широко распространенного нормального распределения погрешностей . Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю, более плосковершинные распределения обладают отрицательным эксцессом, более островершинные - положительным (рис.5).



Каталог: library -> 3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> Рекламационная работа на этапе реализации хозяйственных договоров воинскими частями
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> Технологические процессы технического обслуживания функциональных групп летательных аппаратов
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> А — 1 обозначение советских автожиров, разрабатывавшихся в 30-х гг
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> Эксплуатационная документация и управление безопасностью полетов воздушных судов
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> Система технической эксплуатации летательных аппаратов
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> Связанных операций создания, хранения и рационального использования потребных запасов запасных частей, расходных материалов, средств технического оснащения и другого авиационно-технического имущества (ати)
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> Текст рд гм 01-02 Руководящий документ по защите гидромеханического оборудования и металлоконструкций гидротехнических сооружений от коррозии Библиотека гостов и нормативных документов


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16




База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница