Всё о метрологии Часть теоретические основы метрологии глава предмет и задачи метрологии


Точечные оценки истинного значения и среднеквадратического отклонения



страница7/16
Дата09.08.2019
Размер1.17 Mb.
#128250
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   16

4.5. Точечные оценки истинного значения и среднеквадратического отклонения


Мы подошли к решению вопроса о том, как на основании полученной в эксперименте группы результатов наблюдений оценить истинное значение, т.е. найти результат измерений, как оценить его точность, т.е. меру его приближения к истинному значению.

Эта задача является частным случаем статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки - ряда значений, принимаемых этой величиной в n независимых опытах. Оцениваемыми параметрами являются математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, поскольку только они входят в выражение для дифференциальных функций всех трех рассмотренных выше распределений. В уравнениях (25) и (30) для нормального распределения и распределения Лапласа эти параметры входят явно, а в уравнения (23) и (24) для равномерного распределения - не явно, поскольку



Оценку параметра а назовем точечной, если она выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением, зави-сящим от распределения исходной случайной величины, в том числе от самого оцениваемого параметра и от числа опытов n.

К точечным оценкам предъявляется ряд требований, определяющих их пригодность для описания самих параметров.

1. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она приближается (сходится по вероятности) к значению оцениваемого параметра.

2. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

3. Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все эти требования, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных выше точек зрения.

Существует несколько методов определения оценок. Наиболее распространен метод максимального правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р. Фишером. Идея метода заключается в следующем. Вся получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений , где n - число наблюдений. Их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одной и той же дифференциальной функцией распределения . Вероятность получения в эксперименте некоторого результата , лежащего в интервале , где - некоторая малая величина, равна соответствующему элементу вероятности .

Независимость результатов наблюдений позволяет найти априорную вероятность появления одновременно всех экспериментальных данных, т.е. всего ряда наблюдений как произведение этих вероятностей:

Если рассматривать Q и как неизвестные параметры распределения, то, подставляя различные значения Q и в эту формулу, мы будем получать различные значения вероятности при каждом фиксированном ряде наблюдений . При некоторых значениях и вероятность получения экспериментальных данных достигает наибольшего значения. В соответствии с методом максимального правдоподобия именно эти значения и принимаются в качестве точечных оценок истинного значения и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Таким образом, метод максимального правдоподобия сводится к отысканию таких оценок и , при которых функция правдо-подобия




(31)

достигает наибольшего значения. Постоянный сомножитель не оказывает влияния на решение и поэтому может быть отброшен. Полученные оценки и истинного значения и среднеквадратического отклонения называются оценками максимального правдоподобия.

Для упрощения вычислений иногда бывает удобнее пользоваться логарифмической функцией правдоподобия




(32)

Если наибольшее значение функции правдоподобия совпадает с максимальным значением, то оценки получаются из системы уравнений



(33)

В противном случае необходимо более подробное исследование функции правдоподобия.

Далее определим оценки максимального правдоподобия для трех распределений случайных погрешностей, представленных в предыдущей главе.

1. Результаты наблюдений распределены нормально. В этом случае

a логарифмическая функция правдоподобия в соответствии с (32)



Система уравнений (33) приводится к виду



Из первого уравнения получаем выражение для оценки истинного значения , а из второго - оценку среднеквадратического отклонения :



Таким образом, при нормальном распределении случайных погрешностей оценкой максимального правдоподобия для истинного значения является среднее арифметическое из результатов отдельных наблюдений, а оценкой дисперсии - среднее из квадратов отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического.

2. Результаты наблюдений распределены по закону Лапласа

.

Логарифмическая функция правдоподобия не является дифференцируемой по Q, поэтому приходится прибегать к численным методам, функция правдоподобия достигает наибольшего значения, когда выражение принимает наименьшее значение. Поэтому задача об отыскании оценки ис-тинного значения сводится к определению такого значения , сумма модулей отклонений результатов наблюдений от которого является наименьшей. Задача решается методом последовательных приближений, причем в качестве первого приближения можно принять среднее арифметическое из полученных результатов.

3. В условиях равномерного распределения погрешностей


причем и .

Решение задачи нахождения оценки максимального правдоподобия для равномерного распределения погрешностей проводим численными методами, в результате чего получаем:

Основное достоинство оценок максимального правдоподобия в том, что они являются асимптотически (при ) несмещенными; асимптотически эффективными и асимптотически нормально распределенными.

Если - оценка максимального правдоподобия для параметра а, то при достаточно большом числе n наблюдений (практически уже при n>20-25) эту оценку можно считать нормально распределенной с математическим ожиданием и дисперсией при любом распределении результатов наблюдений.

Для наиболее часто встречающегося на практике нормального распределения случайных погрешностей оценки максимального правдоподобия имеются особые обозначения.

Оценкой истинного значения является среднее арифметическое из результатов отдельных наблюдений ,

.

Вторая производная от логарифмической функции преобразования равна , поэтому дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии результатов наблюдений, т. е.



.

Оценка дисперсии результатов наблюдений при малом n является немного смещенной, поэтому точечную оценку дисперсии принято определять как




а оценку среднеквадратического отклонения результатов наблюдений как



Дисперсия оценки среднеквадратического отклонения составляет



.

Последнее соотношение показывает, что относительная погрешность определения среднеквадратического отклонения (в %) по результатам обработки ряда наблюдений достаточно велика:




и даже при достигает 10%. Для надежного суждения о точности эту погрешность следует увеличить еще минимум в два раза.

С помощью полученных оценок итог измерений можно записать в виде


что уже позволяет сделать некоторые выводы относительно точности проведенных измерений.

Наряду с методом максимального правдоподобия при определении точечных оценок широко используется метод наименьших квадратов. В соответствии с этим методом среди некоторого класса оценок выбирают ту, которая обладает наименьшей дисперсией, т. е. наиболее эффективную оценку. Легко заметить, что среди всех линейных оценок истинного значения вида , где - некоторые постоянные, именно среднее арифметическое обращает в минимум дисперсию . Поэтому для случая нормально распределенных случайных погрешностей оценки, получаемые методом наименьших квадратов, совпадают с оценками максимального правдоподобия.

4.6. Оценка с помощью интервалов


Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.

Вначале остановимся на определении доверительного интервала для среднего арифметического значения измеряемой величины. Предположим, что распределение результатов наблюдений нормально и известна дисперсия . Найдем вероятность попадания результата наблюдений в интервал . Согласно формуле (29)




Но


и, если систематические погрешности исключены ,





(34)

Это означает, что истинное значение Q измеряемой величины с доверительной вероятностью находится между границами доверительного интервала .

Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной вероятности Р. Для определения доверительной границы (при выполнении перечисленных условий) задаются доверительной вероятностью, например Р=0.95 или Р=0.995 и по формулам





(35)

определяют соответствующее значение интегральной функции нормированного нормального распределения. Затем по данным табл.П.3 приложения находят значение коэффициента и вычисляют доверительное отклонение . Проведение многократных наблюдений позволяет значительно сократить доверительный интервал. Действительно, если результаты наблюдений (i=l, 2,..., n) распределены нормально, то нормально распределены и величины , а значит, и среднее арифметическое , являющееся их суммой. Поэтому имеет место равенство





(36)

где определяется по заданной доверительной вероятности Р.

Полученный доверительный интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов n независимых повторных наблюдений, в раз короче интервала, вычисленного по результату одного наблюдения, хотя доверительная вероятность для них одинакова. Это говорит о том, что сходимость измерений растет пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

Половина длины нового доверительного интервала





(37)

называется доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записывается в виде





(38)

Теперь рассмотрим случай, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна. В этих условиях пользуются отношением



(39)

называемым дробью Стьюдента. Входящие в нее величины и вычисляют на основании опытных данных; они представляют собой точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Плотность распределения этой дроби, впервые предсказанного Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, выражается следующим уравнением:




(40)

где S(t, k) - плотность распределения Стьюдента. Величина k называется числом степеней свободы и равна n - 1. Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале , согласно выражению (8), вычисляется по формуле




или, поскольку S(t, k) является четной функцией аргумента t,




Подставив вместо дроби Стьюдента t ее выражение через и , получим окончательно



.

(41)

Величины , вычисленные по формулам (40) и (41), были табулированы Фишером для различных значений доверительной вероятности Р в пределах 0.10 - 0.99 при В табл.П.5 приведены значения для наиболее часто употребляемых доверительных вероятностей Р.

Таким образом, с помощью распределения Стьюдента по формуле (41) может быть найдена вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного значения измеряемой величины не превышает , например и т.д. Итог измерений записывается в виде





(42)


Пример. По результатам пяти наблюдений была найдена длина стержня. Итог измерений составляет L=15.785 мм, =0.005 мм, причем существуют достаточно обоснованные предположения о том, что распределение результатов наблюдений было нормальным. Требуется оценить вероятность того, что истинное значение длины стержня отличается от среднего арифметического из пяти наблюдений не больше чем на 0.01 мм.

Из условия задачи следует, что имеются все основания для применения распределения Стьюдента.

Вычисляем значение дроби Стьюдента


и число степеней свободы



.
По данным табл.П.4 приложения находим значение доверительной вероятности для



и : .

Для =3 вероятность составляет




т.е несколько меньше 0.9973, как при нормальном распределении. Итог измерений удобно записать в виде



.

Для =1 доверительная вероятность составляет приблизительно 0.62, поэтому итог измерений можно представить также в виде




Пример. В условиях предыдущей задачи найти доверительную границу погрешности результата измерений для доверительной вероятности . По данным табл.П.5 при находим и, следовательно, доверительная граница:

мм.

Итог измерений:



При , а практически уже при распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение и




где - интегральная функции нормированного нормального распределения.

В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной.

Кроме того, на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей можно утверждать, что при достаточно большом числе наблюдений распределение среднего арифметического как суммы случайных величин будет сколь угодно близким к нормальному. Тогда, заменяя дисперсию ее точечной оцен-кой [см.п.4.4. Нормальное распределение], можно для оценки доверительной гра-ницы погрешности результата воспользоваться равенством (35). Число наблюдений n, при котором это становится возможным, зависит, конечно, от распределения случайных погрешностей.

Соотношения (38) показывают, что итог измерения не есть одно определенное число. В результате измерений мы получаем лишь полосу значений измеряемой величины. Смысл итога измерений, например, L=20.00±0.05 заключается не в том, что L = 20.00, как для простоты счи-тают, а в том, что истинное значение лежит где-то в границах от 19.95 до 20.05. К тому же нахождение внутри границ имеет некоторую вероятность, меньшую, чем единица, и, следовательно, нахождение вне границ не исключено, хотя и может быть очень маловероятным.

Теперь найдем доверительные интервалы для дисперсии и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Если распределение результатов наблюдений нормально, то отношение




(43)

имеет так называемое -распределение Пирсона с степенями свободы. Его дифференциальная функция распределения описывается формулой





(44)

Кривые плотности -распределения при различных значениях k, вычисленные по формуле (44), представлены на рис.9.

Значения , соответствующие различным вероятностям Р того, что отношение (43) в данном опыте будет меньше , представлены в табл.П.6 приложения для различных вероятностей Р и чисел k степеней свободы.

Пользуясь этой таблицей, можно найти доверительный интервал для оценки дисперсии результатов наблюдений при заданной доверительной вероятности. Этот интервал строится таким образом, чтобы вероятность выхода дисперсии за его границы не превышала некоторой малой величины q, причем вероятности выхода за обе границы интервала были бы равны между собой и составляли соответственно q/2 (рис.10).

Границы и такого доверительного интервала находят из равенства





(45)

Теперь, зная границы доверительного интервала для отношения , запишем доверительный интервал для дисперсии:



(46)

Полученное равенство означает, что с вероятностью истинное значение среднеквадратического отклонения результатов наблюдений лежит в интервале (], границы которого равны





(47)


Пример. Даны результаты двадцати измерений длины мм детали (табл.3).

Таблица 3



18.305

18.306

18.306

18.309

18.308

18.309

18.313

18.308

18.312

18.310

18.305

18.307

18.309

18.303

18.307

18.309

18.304

18.308

18.308

18.310

В качестве оценки математического ожидания длины детали принимаем ее среднее арифметическое

мм.

Точечная оценка среднеквадратического отклонения результатов наблюдений составляет:



мм.

Приняв уровень доверительной вероятности , находим для числа степеней свободы в табл.П.6 приложения:



Границы доверительного интервала для среднеквадратического отклонения результатов наблюдений находим по формуле (47):




Полученные результаты говорят о том, что истинное значение среднеквадратического отклонения результатов наблюдений с вероятностью 0.90 лежит в интервале 0.0020 - 0.0034 мм.

В табл.П.6 приведены значения только при числах степеней свободы от 1 до 30. При k>30 можно пользоваться приближенной формулой

где определяется из условия по табл.П.3, в которой помещены значения интегральной функции нормированного нормального распределения.

Тогда границы доверительного интервала для среднеквадратического отклонения результатов наблюдений при доверительной вероятности вычисляются по формулам (47) при значениях , равных




(49)

Так, если в условиях предыдущей задачи среднеквадратическое отклонение определено на основании измерений, то для из табл.П.3 находим:


Величины при составляют:




Границы доверительного интервала:


4.7. Проверка нормальности распределения результатов наблюдений


В предыдущих разделах было показано, что результаты наблюдений можно оценить наиболее полно, если их распределение является нормальным. Поэтому исключительно важную роль при обработке результатов наблюдений играет проверка нормальности распределения.

Эта задача представляет собой частный случай более общей проблемы, заключающейся в подборе теоретической функции распределения, в некотором смысле наилучшим образом согласующейся с опытными данными.

При большом числе результатов наблюдений (n>40) данная задача решается в следующем порядке.

Весь диапазон полученных результатов наблюдений Xmax ... Xmin разделяют на r интервалов шириной и подсчитывают частоты mi, равные числу результатов, лежащих в каждом i-м интервале, т. е. меньших или равных его правой и больших левой границы.

Отношения




(50)

где n - общее число наблюдений, называются частостями и представляют собой статистические оценки вероятностей попадания результата наблюдений в i-й интервал. Распределение частот по интервалам образует статистическое распределение результатов наблюдений.

Если теперь разделить частость на длину интервала, то получим величины




(51)

являющиеся оценками средней плотности распределения в интервале .

Отложим вдоль оси результатов наблюдений (рис.11) интервалы в порядке возрастания индекса i и на каждом интервале построим прямоугольник с высотой, равной . Полученный график называется гистограммой статистического распределения.

Площадь суммы всех прямоугольников равна единице:



При увеличении числа наблюдений число интервалов можно увеличить. Сами интервалы уменьшаются, и гистограмма все больше приближается к плавной кривой, ограничивающей единичную площадь, - к графику плотности распределения результатов наблюдений.

При построении гистограмм рекомендуется пользоваться следующими правилами:

1. Число интервалов выбирается в зависимости от числа наблюдений согласно рекомендациям табл.6.



Таблица 6


n

r

40 – 100

7 – 9

100 – 500

8 – 12

500 – 1000

10 – 16

1000 – 10000

12 – 22




2. Длины интервалов удобнее выбирать одинаковыми. Однако если распределение крайне неравномерно, то в области максимальной концентрации результатов наблюдений следует выбирать более узкие интервалы.

3. Масштабы по осям гистограммы должны быть такими, чтобы отношение ее высоты к основанию составляло примерно 5:8.


Пример. Было выполнено 100 измерений среднего диаметра резьбового калибра. Результаты наблюдений лежат в диапазоне 8.911 - 8.927 мм, т. е. зона распределения результатов составляет 0.016 мм. Весь диапазон удобно разделить на восемь равных интервалов через 0.002 мм. В табл.7 приведены частоты mi, частости и плотности статистического распределения.


Таблица 7




, мм

, мм





, 1/мм

1

8.911

8.913

1

0.01

5

2

8.913

8.915

5

0.05

25

3

8.915

8.917

14

0.14

70

4

8.917

8.919

27

0.27

135

5

8.919

8.921

24

0.24

120

6

8.921

8.923

18

0.18

90

7

8.923

8.925

9

0.09

45

8

8.925

8.927

2

0.02

10




После построения гистограммы надо подобрать теоретическую плавную кривую распределения, которая, выражая все существеные черты статистического распределения, сглаживала бы все случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных. Принципиальный вид теоретической кривой выбирают заранее, проанализировав метод измерения, или хотя бы по внешнему виду гистограммы. Тогда определение аналитического вида кривой распределения сводится к выбору таких значений его параметров, при которых достигается наибольшее соответствие между теоретическим и статистическим распределением. Одним из методов решения этой задачи является метод моментов. При его использовании параметрам теоретического распределения придают такие значения, при которых несколько важнейших моментов совпадают с их статистическими оценками. Так, если статистическое распределение, определяемое гистограммой, приведенной на рис.11, мы хотим описать кривой нормального распределения, то естественно потребовать, чтобы математическое ожидание и дисперсия последнего совпадали со средним арифметическим и оценкой дисперсий, вычисленным по опытным данным. В предыдущем примере мм, мм и уравнение кривой нормального распределения, лучше всего согласующегося со статистическим распределением, должно иметь вид:

Далее законно возникает вопрос, объясняются ли расхождения между гистограммой и подобранным теоретическим распределением только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они вызваны тем, что результаты наблюдений в действительности распределены иначе?

Для ответа на этот вопрос используют методы проверки статистических гипотез. Идея их применения заключается в следующем. На основании гистограммы, полученной при обработке опытных данных, строится гипотеза, состоящая в том, что результаты наблюдений подчиняются распределению с плотностью .

Для того чтобы принять или опровергнуть эту гипотезу, выбирается некоторая величина U, представляющая собой меру расхождения теоретического и статистического распределений. В качестве меры расхождения можно принять сумму квадратов разностей частостей и теоретических вероятностей попадания результатов наблюдений в каждый интервал, взятых с некоторыми коэффициентами:



,

(52)

где – коэффициенты, называемые весами разрядов; – теоретические вероятности, определяемые как



,

(53)

Здесь – предполагаемая плотность распределения.

Мера расхождения U является случайной величиной и, независимо от исходного распределения подчиняется -распределению с k степенями свободы – см. формулу (44). Если значения всех частот , число измерений стремится к бесконечности, а веса выбираются равными . Число степеней свободы распределения k = r - s, где – число разрядов гистограммы статистического распределения, а s – число независимых связей, наложенных на частости .

Если проверяется гипотеза о нормальности распределения, то к числу этих связей относится равенство среднего арифметического математическому ожиданию, а точечной оценки дисперсии - дисперсии предполагаемого нормального распределения. Кроме того, всегда требуется, чтобы сумма частостей по всем интервалам была равна единице. Поэтому в данном случае s = 3.

По табл.П.6 можно при заданной доверительной вероятности найти тот доверительный интервал значений , в который мера расхождения может попасть по чисто случайным причинам.

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения окажется в указанном интервале, то гипотеза принимается. Это, конечно, не значит, что гипотеза верна. Можно лишь утверждать, что она правдоподобна, т.е. не противоречит опытным данным. Если же она выходит за границы доверительного интервала, то гипотеза отвергается как противоречащая опытным данным.

Поскольку проверка гипотезы основывается на опытных данных, то при принятии решения всегда возможны ошибки. Отвергая в действительности верную гипотезу, мы совершаем ошибку первого рода. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и составляет . Принимая в действительности неверную гипотезу, мы совершаем ошибку второго рода. Вычислить ее вероятность, вообще говоря, невозможно, поскольку для этого нужно рассмотреть все прочие возможные гипотезы, являющиеся альтернативой обсуждаемой гипотезы. Можно лишь утверждать, что при уменьшении ошибки первого рода ошибка второго рода увеличивается, поэтому не имеет смысла брать слишком высокие значения доверительных вероятностей.

Описанная процедура проверки гипотезы о том, что данное статистическое распределение является распределением с плотностью , называется критерием согласия . Проверка нормальности распределения согласно критерию сводится к следующему.

1. Данные наблюдений группируют по интервалам, как при построении гистограммы, и подсчитывают частоты . Если в некоторые интервалы попадает меньше пяти наблюдений, то такие интервалы объединяют с соседними. При этом число степеней свободы k, конечно, уменьшается.

2. Вычисляют среднее арифметическое и точечную оценку среднеквадратического отклонения результата наблюдений , которые принимают в качестве параметров теоретического нормального распределения с плотностью .

3. Для каждого интервала находят вероятности попадания в них результатов наблюдений либо по общей формуле (29), либо приближенно как произведение плотности теоретического распределения в середине интервала на его длину:


.

(54)

4. Для каждого интервала вычисляют величины и суммируют их по всем , в результате чего получают меру расхождения .

5. Определяют число степеней свободы и, задаваясь уровнем значимости , находят по табл.П.6 приложения значения и . Если , то распределение результатов наблюдений считают нормальным.

Критерий согласия , построенный на предельном переходе при , рекомендуется применять, если общее число наблюдений больше сорока.

При малом числе наблюдений нормальность распределения результатов наблюдений проверяется с помощью двух критериев.

Первый критерий основан на вычислении статистики


.

(55)

Гипотеза о нормальности распределения на основании первого критерия принимается, если при данном числе наблюдений и выбранном уровне значимости соблюдается условие

,

где и – квантили, выбираемые из табл.П.8.

На основании второго критерия гипотеза о нормальности распределения принимается, если не более разностей превосходят уровень , где – оценка среднеквадратического отклонения результатов наблюдения, – квантиль интегральной функции нормированного нормального распределения, определяемый по данным табл.П.2 приложения при значении

.

Величина находится при заданном уровне значимости второго критерия по данным табл.П.9.

Распределение результатов наблюдения считается отличным от нормального, если оно не соответствует хотя бы одному из этих двух критериев. Уровень значимости составного критерия

.

При малом числе наблюдений для оценки нормальности можно воспользоваться понятием статистической функции распределения результатов наблюдений. Для ее построения полученные в процессе эксперимента результаты группируют в так называемый вариационный ряд , члены которого располагаются в порядке их возрастания, так что всегда . Статистическую функцию распределения определяют по формуле





(56)

представляет собой ступенчатую линию, скачки которой соответствуют значениям членов вариационного ряда. Каждый скачок равен , если все членов ряда различны. Если же для некоторого , то в точке возрастает на , где i – число равных между собой членов ряда.

Если число наблюдений безгранично увеличивать, то статистическая функция распределения сходится по вероятности к истинной функции .

Для проверки нормальности распределения результатов наблюдений по табл.3 приложения находят значения , соответствующие полученным значениям статистической функции распределения . Но переменная определяется через результаты наблюдений как


и если в координатах нанести точки , то при нормальном распределении они должны расположиться вдоль одной прямой линии. Если же в результате такого построения получится некоторая кривая линия, то гипотезу о нормальности распределения придется отвергнуть как противоречащую опытным данным.


Пример. Даны результаты девятнадцати измерений длины детали (см. табл.3). Проверить нормальность распределения результатов наблюдений.

Вычисления по изложенной методике сведены в табл.8.




Таблица 8

, мм





18.303

0.05

-1.6449

18.304

0.10

-1.2816

18.305

0.20

-0.8416

18.306

0.30

-0.52.44

18.307

0.40

-0.2533

18.308

0.60

0.2533

18.309

0.75

0.6745

18.310

0.85

1.0364

18.311

0.90

1.2816

18.312

0.95

1.6449




На рис.12 представлена зависимость . Отдельные точки располагаются очень близко к прямой, поэтому распределение результатов наблюдений можно считать нормальным.


4.8. Обнаружение грубых погрешностей


В начале главы уже было отмечено, что грубыми называют погрешности, явно превышающие по своему значению погрешности, оправданные условиями проведения эксперимента. Для их устранения желательно еще перед измерениями определить значение искомой величины приближенно, с тем чтобы в дальнейшем можно было сконцентрировать внимание лишь на уточнении предварительных данных. Если оператор в процессе измерений обнаруживает, что результат одного из наблюдений резко отличается от других, и находит причины этого, то он, конечно, вправе отбросить этот результат и провести повторные измерения. Но необдуманное отбрасывание резко отличающихся от других результатов может привести к существенному искажению характеристик рассеивания ряда измерений, поэтому повторные измерения лучше проводить не взамен сомнительных, а в дополнение к ним.

Особенно остро ставится вопрос об устранении грубых погрешностей при обработке уже имеющегося материала, когда невозможно учесть все обстоятельства, при которых проводили измерения. В этом случае приходится прибегать к чисто статистическим методам.

Вопрос о том, содержит ли данный результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки статистических гипотез.

Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат наблюдения не содержит грубой погрешности, т.е. является одним из значений случайной величины Х с законом распределения , статистические оценки параметров которого предварительно определены. Сомнительным может быть в первую очередь лишь наибольший или наименьший из результатов наблюдений. Поэтому для проверки гипотезы следует воспользоваться распределениями величин



или .

(57)

Функции их распределения определяют методами теории вероятностей [3]. Они совпадают между собой и для нормального распределения результатов наблюдений протабулированы и представлены в табл.П.7 приложения. По данным этой таблицы, при заданной доверительной вероятности или уровне значимости можно для количества измерения найти те наибольшие значения , которые случайная величина может еще принять по чисто случайным причинам.

Если вычисленное по опытным данным значение окажется меньше , то гипотеза принимается; в противном случае ее следует отвергнуть как противоречащую данным наблюдений. Тогда результат или соответственно приходится рассматривать как содержащий грубую погрешность и не принимать его во внимание при дальнейшей обработке результатов наблюдений.



Каталог: library -> 3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> Рекламационная работа на этапе реализации хозяйственных договоров воинскими частями
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> Технологические процессы технического обслуживания функциональных групп летательных аппаратов
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> А — 1 обозначение советских автожиров, разрабатывавшихся в 30-х гг
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> Эксплуатационная документация и управление безопасностью полетов воздушных судов
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> Система технической эксплуатации летательных аппаратов
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> Связанных операций создания, хранения и рационального использования потребных запасов запасных частей, расходных материалов, средств технического оснащения и другого авиационно-технического имущества (ати)
3 ТЕХНИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ -> Текст рд гм 01-02 Руководящий документ по защите гидромеханического оборудования и металлоконструкций гидротехнических сооружений от коррозии Библиотека гостов и нормативных документов


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   16




База данных защищена авторским правом ©vossta.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница